Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，2），點(diǎn)P（t，0）在x軸上，B是線段PA的中點(diǎn)．將線段PB繞著點(diǎn)P順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°，得到線段PC，連結(jié)OB、BC．
（1）判斷△PBC的形狀，并簡(jiǎn)要說明理由；
（2）當(dāng)t＞0時(shí)，試問：以P、O、B、C為頂點(diǎn)的四邊形能否為平行四邊形？若能，求出相應(yīng)的t的值？若不能，請(qǐng)說明理由；
（3）當(dāng)t為何值時(shí)，△AOP與△APC相似？

Answer 1

考點(diǎn)：相似形綜合題

專題：

分析：（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的現(xiàn)在得出PB=PC，再根據(jù)B是線段PA的中點(diǎn)，得出∠BPC=90°，從而得出△PBC是等腰直角三角形．
（2）根據(jù)∠OBP=∠BPC=90°，得出OB∥PC，再根據(jù)B是PA的中點(diǎn)，得出四邊形POBC是平行四邊形，當(dāng)OB⊥BP時(shí)，得出OP²=2OB²，即t²=2（

1

4

t²+1），求出符合題意的t的值，即可得出答案；
（3）根據(jù)題意得出∠AOP=∠APC=90°，再分兩種情況討論，當(dāng)

OP

OA

=

PC

PA

=

1

2

時(shí)和

OA

OP

=

PC

PA

=

1

2

時(shí)，得出△AOP∽△APC和△AOP∽△CPA，分別求出t的值即可．

解答：解：（1）△PBC是等腰直角三角形，理由如下：
∵線段PB繞著點(diǎn)P順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°，得到線段PC，
∴PB=PC，
∵B是線段PA的中點(diǎn)，
∴∠BPC=90°，
∴△PBC是等腰直角三角形．

（2）當(dāng)OB⊥BP時(shí)，以P、O、B、C為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形． 
∵∠OBP=∠BPC=90°，
∴OB∥PC，
∵B是PA的中點(diǎn)，
∴OB=

1

2

AP=BP=PC，
∴四邊形POBC是平行四邊形，
當(dāng)OB⊥BP時(shí)，有OP=

2

OB，即OP²=2OB²，
∴t²=2（

1

4

t²+1），
∴t₁=2，t₂=-2（不合題意），
∴當(dāng)t=2時(shí)，以P、O、B、C為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形． 

（3）由題意可知，∠AOP=∠APC=90°，
當(dāng)

OP

OA

=

PC

PA

=

1

2

時(shí)，
△AOP∽△APC，
此時(shí)OP=

1

2

OA=1，
∴t=±1，
當(dāng)

OA

OP

=

PC

PA

=

1

2

時(shí)，
△AOP∽△CPA，
此時(shí)OP=2OA=4，
∴t=±4，
∴當(dāng)t=±1或±4時(shí)，△AOP與△CPA相似．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了相似形的綜合，用到的知識(shí)點(diǎn)是旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、平行四邊形的判定，相似三角形的判定與性質(zhì)，注意分情況討論，不要漏解．