Question

13．如圖，拋物線 y=ax²+bx+3經(jīng)過A（1，0）、B（4，0）兩點．
（1）求拋物線的解析式；
（2）如圖1，在拋物線的對稱軸上是否存在點P，使得四邊形PAOC的周長最小？若存在，求出四邊形PAOC周長的最小值；若不存在，請說明理由．
（3）如圖2，點Q是線段OB上一動點，連接BC，在線段BC上存在點M，使△CQM為等腰三角形且△BQM為直角三角形？求點M的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）把點A（1，0）、B（4，0）兩點的坐標(biāo)代入函數(shù)解析式，利用待定系數(shù)法求解；
（2）A、B關(guān)于對稱軸對稱，連接BC，則BC與對稱軸的交點即為所求的點P，此時PA+PC=BC，四邊形PAOC的周長最小值為：OC+OA+BC；根據(jù)勾股定理求得BC，即可求得；
（3）分兩種情況分別討論，即可求得．

解答 解：（1）由已知得$\left\{\begin{array}{l}{a+b+3=0}\\{16a+4b+3=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{3}{4}}\\{b=-\frac{15}{4}}\end{array}\right.$．
所以，拋物線的解析式為y=$\frac{3}{4}$x²-$\frac{15}{4}$x+3．
（2）∵A、B關(guān)于對稱軸對稱，如圖1，連接BC，
∴BC與對稱軸的交點即為所求的點P，此時PA+PC=BC，
∴四邊形PAOC的周長最小值為：OC+OA+BC，
∵A（1，0）、B（4，0）、C（0，3），
∴OA=1，OC=3，BC=$\sqrt{O{B}^{2}+O{C}^{2}}$=5，
∴OC+OA+BC=1+3+5=9；
∴在拋物線的對稱軸上存在點P，使得四邊形PAOC的周長最小，四邊形PAOC周長的最小值為9．
（3）∵B（4，0）、C（0，3），
∴直線BC的解析式為y=-$\frac{3}{4}$x+3，
①當(dāng)∠BQM=90°時，如圖2，設(shè)M（a，b），
∵∠CMQ＞90°，
∴只能CM=MQ=b，
∵M(jìn)Q∥y軸，
∴△MQB∽△COB，
∴$\frac{BM}{BC}$=$\frac{MQ}{OC}$，即$\frac{5-b}{5}$=$\frac{3}$，解得b=$\frac{15}{8}$，代入y=-$\frac{3}{4}$x+3得$\frac{15}{8}$=-$\frac{3}{4}$a+3，解得a=$\frac{3}{2}$，
∴M（$\frac{3}{2}$，$\frac{15}{8}$）；
②當(dāng)∠QMB=90°時，如圖3，
∵∠CMQ=90°，
∴只能CM=MQ，
設(shè)CM=MQ=m，
∴BM=5-m，
∵∠BMQ=∠COB=90°，∠MBQ=∠OBC，
∴△BMQ∽△BOC，
∴$\frac{m}{3}$=$\frac{5-m}{4}$，解得m=$\frac{15}{7}$，
作MN∥OB，
∴$\frac{MN}{OB}$=$\frac{CN}{OC}$=$\frac{CM}{BC}$，即$\frac{MN}{4}$=$\frac{CN}{3}$=$\frac{\frac{15}{7}}{5}$，
∴MN=$\frac{12}{7}$，CN=$\frac{9}{7}$，
∴ON=OC-CN=3-$\frac{9}{7}$=$\frac{12}{7}$，
∴M（$\frac{12}{7}$，$\frac{12}{7}$）．
綜上，在線段BC上存在這樣的點M，使△CQM為等腰三角形且△BQM為直角三角形，點M的坐標(biāo)為（$\frac{3}{2}$，$\frac{15}{8}$）或（$\frac{12}{7}$，$\frac{12}{7}$）．

點評 本題是二次函數(shù)的綜合題，考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，軸對稱-最短路線問題，等腰三角形的性質(zhì)等；分類討論思想的運(yùn)用是本題的關(guān)鍵．