Question

折疊問題：
（1）如圖，矩形紙片ABCD中，AB=8，將紙片折疊，使頂點(diǎn)B落在邊AD的E點(diǎn)上，折痕的一端G點(diǎn)在邊BC上，BG=10．
①當(dāng)折痕的另一端點(diǎn)F在AB邊上時(shí)，如圖①，求△EFG的面積；
②當(dāng)折痕的另一端點(diǎn)F在AD邊上時(shí)，如圖②，證明四邊形BGEF為菱形，并求出折痕GF的長．

（2）在矩形紙片ABCD中，AB=5，AD=13．如圖③所示，折疊紙片，使點(diǎn)A落在BC邊上的A′處，折痕為PQ．當(dāng)點(diǎn)A′在BC邊上移動(dòng)時(shí)，折痕的端點(diǎn)P，Q也隨之移動(dòng)．若限定點(diǎn)P，Q分別在AB，AD邊上移動(dòng)，求點(diǎn)A′在BC邊上可移動(dòng)的最大距離．

Answer 1

分析：（1）①首先利用翻折變換的性質(zhì)以及勾股定理求出AE的長，進(jìn)而利用勾股定理求出AF和EF的長，即可得出△EFG的面積；
②首先證明四邊形BGEF是平行四邊形，再利用BG=EG，得出四邊形BGEF是菱形，再利用菱形性質(zhì)求出FG的長；
（2）分別利用當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)B重合時(shí)，以及當(dāng)點(diǎn)D與點(diǎn)Q重合時(shí)，求出A′B的極值進(jìn)而得出答案．

解答：（1）①解：如圖①過G作GH⊥AD，
在Rt△GHE中，GE=BG=10，GH=8，
所以，EH=

102-82

=6，AE=10-6=4，
設(shè)AF=x，則EF=BF=8-x，
則AF²+AE²=EF²，
∴x²+4²=（8-x）²，
解得：x=3，
∴AF=3，BF=EF=5，
故△EFG的面積為：

1

2

×5×10=25；

②證明：如圖②，過F作FK⊥BG于K，
∵ABCD是矩形，
∴AD∥BC，BH∥EG，
∴四邊形BGEF是平行四邊形；
由對(duì)稱性知，BG=EG，
∴四邊形BGEF是菱形．
解：∵四邊形BGEF是菱形，
∴BG=BF=10，AB=8，AF=6，
∴KG=4，FG=

82+42

=

80

=4

5

；

（2）解：如圖1，當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)B重合時(shí)，根據(jù)翻折對(duì)稱性可得BA′=AB=5，
如圖2，當(dāng)點(diǎn)D與點(diǎn)Q重合時(shí)，根據(jù)翻折對(duì)稱性可得
A′D=AD=13，
在Rt△A′CD中，A′D²=A′C²+CD²，
即13²=（13-A′B）²+5²，
解得：A′B=1，
所以點(diǎn)A'在BC上可移動(dòng)的最大距離為5-1=4．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了翻折變換的性質(zhì)以及菱形的判定和勾股定理以及三角形面積求法等知識(shí)，注意利用翻折變換的性質(zhì)得出對(duì)應(yīng)線段之間的關(guān)系是解題關(guān)鍵．