【題目】下列命題:如圖,正方形ABCD中,E、F分別為AB、AD上的點,AF=BE,CE、BF交于H,BF交AC于M,O為AC的中點,OB交CE于N,連OH.下列結(jié)論中:①BF⊥CE;②OM=ON;③ ;④ .其中正確的命題有(
A.只有①②
B.只有①②④
C.只有①④
D.①②③④

【答案】B
【解析】解:∵AF=BE,AB=BC,∠ABC=∠BAD=90°, ∴△ABF≌△BEC,
∴∠BCE=∠ABF,∠BFA=∠BEC,
∴△BEH∽△ABF,
∴∠BAF=∠BHE=90°,
即BF⊥EC,①正確;
∵四邊形是正方形,
∴BO⊥AC,BO=OC,
由題意正方形中角ABO=角BCO,在上面所證∠BCE=∠ABF,
∴∠ECO=∠FBO,
∴△OBM≌△ONC,
∴ON=OM,
即②正確;
③∵△OBM≌△ONC,
∴BM=CN,
∵∠BOM=90°,
∴當(dāng)H為BM中點時,OH= BM= CN(直角三角形斜邊中線等于斜邊的一半),
因此只有當(dāng)H為BM的中點時, ,故③錯誤;
④過O點作OG垂直于OH,OG交CH與G點,
在△OGC與△OHB中,
,
故△OGC≌△OHB,
∵OH⊥OG,
∴△OHG是等腰直角三角形,
按照前述作輔助線之后,OHG是等腰直角三角形,OH乘以根2之后等于HG,
則在證明證明三角形OGC與三角形OHB全等之后,CG=BH,
所以④式成立.
綜上所述,①②④正確.
故選B.

【考點精析】掌握直角三角形斜邊上的中線和正方形的性質(zhì)是解答本題的根本,需要知道直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半;正方形四個角都是直角,四條邊都相等;正方形的兩條對角線相等,并且互相垂直平分,每條對角線平分一組對角;正方形的一條對角線把正方形分成兩個全等的等腰直角三角形;正方形的對角線與邊的夾角是45o;正方形的兩條對角線把這個正方形分成四個全等的等腰直角三角形.

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(2)如圖②,將圖①中的正方形ABCD改為∠ADC=120°的菱形,其他條件不變,當(dāng)α=60°時,(1)中的結(jié)論變?yōu)? ,請給出證明.
(3)在(2)的條件下,將∠QPN繞點P旋轉(zhuǎn),若旋轉(zhuǎn)過程中∠QPN的邊PQ與邊AD的延長線交于點E,其他條件不變,探究在整個運動變化過程中,DE,DF,AD之間滿足的數(shù)量關(guān)系,直接寫出結(jié)論,不用加以證明.

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