Question

銳角三角形△ABC的外心為O，外接圓半徑為R，延長AO，BO，CO，分別與對邊BC，CA，AB交于D，E，F；證明：

1

AD

+

1

BE

+

1

CF

=

2

R

．

Answer 1

分析：延長AD交⊙O于M，由于AD，BE，CF共點O．根據S_△ABC=S_△ABO+S_△ACO+S_△BCO、

OD

AD

=

S△OBC

S△ABC

，

OE

BE

=

S△OAC

S△BAC

，

OF

CF

=

S△OAB

S△CAB

可以推知

OD

AD

+

OE

BE

+

OF

CF

=1①；然后由OD=R-DM、AM=2R求得

OD

AD

=1-

R

AD

；同理

OE

BE

=1-

R

BE

，

OF

CF

=1-

R

CF

；最后將其代入①式求得

1

AD

+

1

BE

+

1

CF

=

2

R

．

解答：證明：延長AD交⊙O于M，由于AD，BE，CF共點O，

OD

AD

=

S△OBC

S△ABC

，

OE

BE

=

S△OAC

S△BAC

，

OF

CF

=

S△OAB

S△CAB

，…5’
則

OD

AD

+

OE

BE

+

OF

CF

=1…①…10’
而

OD

AD

=

R-DM

2R-DM

=1-

R

2R-DM

=1-

R

AD

，…15’
同理有，

OE

BE

=1-

R

BE

， 

OF

CF

=1-

R

CF

，…20’
代入①得，(1-

R

AD

)+(1-

R

BE

)+(1-

R

CF

)=1…②
所以 

1

AD

+

1

BE

+

1

CF

=

2

R

．                                     …25’

點評：本題考查了面積以及等積變換．解答本題時，通過作輔助線AM，將AD、OD、CO、CF、BO、BE的長度與半徑R聯系在一起，從而通過化簡

OD

AD

+

OE

BE

+

OF

CF

=1，證得結論

1

AD

+

1

BE

+

1

CF

=

2

R

．