Question

【題目】如圖，在等腰直角三角形ABC中，∠ABC=90°，AB=BC=4，⊙B與AB、BC交于E、F，點(diǎn)P是弧EF上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接PC，線段PC繞P點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°到PD，連接CD，AD．

（1）求證：△BPC∽△ADC；

（2）當(dāng)四邊形ABCD滿足AD∥CB且是面積為12時(shí)，求⊙B的半徑；

（3）若⊙B的半徑的為2，當(dāng)點(diǎn)P沿弧EF從點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)PC與⊙B相切時(shí)，求點(diǎn)D的運(yùn)動(dòng)路徑的長．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）（3）

【解析】

試題分析：（1）由等腰直角三角形的性質(zhì)可知：BC：AC=PC：DC，∠PCD=∠ACB，從而可證明∠BCP=∠ACD，最后依據(jù)兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等的兩三角形相似進(jìn)行證明即可；

（2）如圖1所示：先求得△ABC的面積，然后可得到△ADC的面積，依據(jù)三角形的面積公式可得到AD的長，然后依據(jù)相似三角形對應(yīng)邊長比例可求得PB的長；

（3）如圖2所示：由相似三角形的性質(zhì)可知：AD=2，于是可得到點(diǎn)D在以A為圓心，以2為半徑的圓上，然后根據(jù)點(diǎn)P在圓B的運(yùn)動(dòng)路線和確定點(diǎn)D經(jīng)過的路徑（弧）所對的圓心角，最后依據(jù)弧長公式求解即可．

試題解析：（1）∵∠ABC=90°，AB=BC，

∴∠ACB=45°，BC：AC=1：．

∵PD=PC，∠DPC=90°，

∴∠PCD=45°，PC：DC=1：．

∴BC：AC=PC：DC，∠PCD=∠ACB．

∴∠PCD﹣∠PCA=∠ACB﹣∠PCA，即∠BCP=∠ACD．

∴△BPC∽△ADC．

（2）如圖1所示：

∵AB=BC=4，∠ABC=90°，

∴S△ABC=ABBC=×4×4=8，

∵四邊形ABCD的面積為12，

∴S△ADC=4．

∵AD∥BC，

∴S△ADC=ADAB=4，即×4×AD=4．

∴AD=2．

∵△BPC∽△ADC，

∴，

即．

解得BP=．

∴⊙B的半徑為．

（3）如圖2所示：

∵BP=2，由（2）可知AD：BP=：1，

∴AD=2．

∴D在以A為圓心，以2為半徑的圓上．

∵△BPC∽△ADC，

∴∠PBC=∠DAC．

∵當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)E重合時(shí)，∠PBC=90°．

∴∠DAC=90°．

當(dāng)點(diǎn)P′C與圓B相切時(shí)，∠BP′C=90°，BP′=2，BC=4，

∴∠P′BC=60°．

span>∴∠D′AC=60°．

∴∠D′AD=90°﹣60°=30°．

∴點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)的路線長==．