Question

20．如圖，已知直線y=-$\frac{3}{4}$x+3分別交x軸、y軸于點A、B，P是拋物線y=-$\frac{1}{2}$x²+2x+5上的一個動點，其橫坐標為a，過點P且平行于y軸的直線交直線y=-$\frac{3}{4}$x+3于點Q，則當PQ=BQ時，a的值是4+2$\sqrt{5}$或4-2$\sqrt{5}$或4或-1．

Answer 1

分析 先利用一次函數(shù)解析式求出B（0，3），再根據(jù)二次函數(shù)圖象上點的坐標特征和一次函數(shù)圖象上點的坐標特征，設P（a，-$\frac{1}{2}$a²+2a+5），Q（a，-$\frac{3}{4}$a+3），則可利用兩點間的距離公式得到PQ=|$\frac{1}{2}$a²-$\frac{11}{4}$a-2|，BQ=|$\frac{5}{4}$a|，然后利用PQ=BQ得到|$\frac{1}{2}$a²-$\frac{11}{4}$a-2|=|$\frac{5}{4}$a|，討論：$\frac{1}{2}$a²-$\frac{11}{4}$a-2=$\frac{5}{4}$或$\frac{1}{2}$a²-$\frac{11}{4}$a-2=-$\frac{5}{4}$a，然后分別解一元二次方程即可得到a的值．

解答 解：當x=0時，y=-$\frac{3}{4}$x+3=3，則B（0，3），
∵點P的橫坐標為a，PQ∥y軸，
∴P（a，-$\frac{1}{2}$a²+2a+5），Q（a，-$\frac{3}{4}$a+3），
∴PQ=|-$\frac{1}{2}$a²+2a+5-（-$\frac{3}{4}$a+3|=|-$\frac{1}{2}$a²+$\frac{11}{4}$a+2|=|$\frac{1}{2}$a²-$\frac{11}{4}$a-2|，
BQ=$\sqrt{{a}^{2}+（-\frac{3}{4}a+3-3）^{2}}$=|$\frac{5}{4}$a|，
∵PQ=BQ，
∴|$\frac{1}{2}$a²-$\frac{11}{4}$a-2|=|$\frac{5}{4}$a|，
當$\frac{1}{2}$a²-$\frac{11}{4}$a-2=$\frac{5}{4}$a，整理得a²-8a-4=0，解得a₁=4+2$\sqrt{5}$，a₂=4-2$\sqrt{5}$，
當$\frac{1}{2}$a²-$\frac{11}{4}$a-2=-$\frac{5}{4}$a，整理得a²-3a-4=0，解得a₁=4，a₂=-1，
綜上所述，a的值為4+2$\sqrt{5}$或4-2$\sqrt{5}$或4或-1．
故答案為4+2$\sqrt{5}$或4-2$\sqrt{5}$或4或-1．

點評 本題考查了二次函數(shù)的綜合題：熟練掌握二次函數(shù)圖象上點的坐標特征和一次函數(shù)圖象上點的坐標特征；理解坐標與圖形的性質，記住兩點間的距離公式；會解一元二次方程．