Question

（2010•廣州一模）如圖，已知AB是⊙O的直徑，直線l與⊙O相切于點C，過點A作直線l的垂線，垂足為點D，連接AC．
（1）求證：AC平分∠DAB；
（2）若AD=3，AC=，求直徑AB的長．

Answer 1

【答案】分析：（1）連接OC，可證得OC∥AD，根據(jù)平行線性質及等腰三角形性質，可得∠DAC=∠CAO，即得AC平分∠DAB；
（2）通過構造直角三角形，利用特殊角三角函數(shù)和勾股定理，即可求得AB的長．
解答：（1）證明：連接OC，直線l與⊙O相切于點C
∴OC⊥l，（1分）
∵AD⊥l，
∴OC∥AD，（2分）
∴∠1=∠2，（3分）
又∵OA=OC，
∴∠2=∠3，（4分）
∴∠1=∠3，（5分）
即AC平分∠DAB．（6分）

（2）解法一：連接BC，∵AB是直徑，
∴∠ACB=90°=∠ADC（7分），
由（1）知，∠1=∠3
∴△ADC∽△ACB，（9分）
∴，（10分）
∴直徑AB的長是4．（12分）
解法二：在Rt△ADC中，AD=3，AC=，
∴，（8分）
即∠1=30°，（9分）
由（1）知，∠3=∠1=30°，
連接BC，
∵AB是直徑，
∴∠ACB=90°，（10分）
在Rt△ABC中，，（11分），AB=4
∴直徑AB的長是4．（12分）
評分細則：第2問解法較多，其它解法參照本評分說明分步給分；
點評：本題涉及到切線的性質、角平分線的性質、相似三角形的判定、特殊角的三角函數(shù)、解直角三角形等多方面的知識，是一道綜合題型，考查學生各知識點的綜合運用能力．