Question

如圖，⊙O的半徑OD經(jīng)過弦AB（不是直徑）的中點C，過AB的延長線上一點P作⊙O的切線PE，E為切點，PE∥OD；延長直徑AG交PE于點H；直線DG交OE于點F，交PE于點K．
（1）求證：四邊形OCPE是矩形；
（2）求證：HK=HG；
（3）若EF=2，F(xiàn)O=1，求KE的長．

Answer 1

（1）證明：∵AC=BC，AB不是直徑
∴OD⊥AB，∠PCO=90°
∵PE∥OD
∴∠P=90°
∵PE是切線
∴∠PEO=90°
∴四邊形OCPE是矩形；

（2）證明：∵OG=OD
∴∠OGD=∠ODG
∵PE∥OD
∴∠K=∠ODG
∵∠OGD=∠HGK
∴∠K=∠HGK
∴HK=HG；

（3）解：∵EF=2，OF=1
∴EO=DO=3
∵PE∥OD
∴∠KEO=∠DOE，∠K=∠ODG
∴△OFD∽△EFK
∴EF：OF=KE：OD=2：1
∴KE=6．
分析：（1）根據(jù)OD⊥AB，切線的性質(zhì)知OE⊥PK，由PE∥OD，可知OE⊥CD，再根據(jù)矩形判定定理：有三個角是直角的四邊形是矩形，可知四邊形OCPE為矩形；
（2）由OG=OD，可知∠OGD=∠ODG，根據(jù)PE∥OD，可知∠K=∠ODG，因為對頂角∠OGD=∠HGK，可得∠K=∠HGK，故HK=HG；
（3）根據(jù)△OFD∽△EFK，可將KE的長求出．
點評：本題考查了矩形的判定定理，切線的性質(zhì)及三角形相似的判定和應(yīng)用．