Question

30、如圖1所示，∠EBA=∠ABC=60°，E、A、C分別是射線BE、BA、BC上的點，D是射線BA上的一點，BA＜BD，BE=BD，BA=BC．
（1）猜想∠DEA與∠DCA的大小關(guān)系，并說明理由；
（2）以DC為邊在△DBC的形外作等邊△DCF（如圖2所示），猜想DE與DC相等嗎？如果相等，請說明理由；如果不等，試在圖中尋找一條與DE相等的線段（BE、BD除外），并說明理由．

Answer 1

分析：（1）先利用“SAS”證明△ABE≌△CBD，再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)和角與角之間的關(guān)系即可得出；
（2）DE與DC不相等；DE=AF，利用“SAS”證明△CAF≌△CBD，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)和等邊三角形的性質(zhì)即可得出．

解答：解：（1）∠DEA=∠DCA--------------1′
利用“SAS”證明△ABE≌△CBD----------3’
所以∠AEB=∠CDB
在△ABC中，∠BAC=∠CDB+∠DCA=60°
又因為∠BED=∠AEB+∠DEA=60°--------------4’
所以∠AEB+∠DEA=∠CDB+∠DCA
所以∠DEA=∠DCA；-------------------------------5’

（2）不相等，DE=AF------------------------------6’
利用“SAS”證明△CAF≌△CBD---------8’
所以AF=BD------------9’
又因為等邊三角形BDE中，BD=DE，
所以DE=AF．-------------10’

點評：本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)和等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定是結(jié)合全等三角形的性質(zhì)證明線段和角相等的重要工具．在判定三角形全等時，關(guān)鍵是選擇恰當?shù)呐卸�條件．