Question

已知四邊形ABCD是正方形，O為正方形對角線的交點(diǎn)，一動點(diǎn)P從B開始，沿射線BC運(yùn)到，連結(jié)DP，作CN⊥DP于點(diǎn)M，且交直線AB于點(diǎn)N，連結(jié)OP，ON．(當(dāng)P在線段BC上時，如圖(1)：當(dāng)P在BC的延長線上時，如圖(2))

(1)請從圖(1)，圖(2)中任選一圖證明下面結(jié)論：

①BN＝CP；

②OP＝ON，且OP⊥ON

(2)設(shè)AB＝4，BP＝x，試確定以O(shè)、P、B、N為頂點(diǎn)的四邊形的面積y與x的函數(shù)關(guān)系．

Answer 1

答案：
解析：

分析：對于圖(1)，證明線段相等，一般情況下找全等．根據(jù)BN，CP的分布情況，可以觀察△CNB和△DPC，然后證明兩三角形全等．也可以觀察△CAN和△DBP，證明AN＝BP，從而有BN＝CP．至于以O(shè)、P、B、N為頂點(diǎn)的四邊形的面積，則要把四邊形分解為兩個三角形去解決問題． 　　對于圖(2)來說圖型要稍微復(fù)雜一點(diǎn)，先證△PDB≌△NCA，得DP＝CN 　　再證△PDO≌△NCO，則有OP＝ON， 　　證明：對于圖(1)，(1)①∵ABCD為正方形， 　　∴∠DCP＝90°，△DCP為Rt△， 　　同理：△CBN為Rt△， 　　而CM⊥DP 　　∴∠PCM＝∠CDP 　　在Rt△DCP與Rt△CBN中： 　　∠DCP＝∠CBN＝90° 　　∠CDP＝∠PCN 　　CD＝BC 　　∴Rt△DCP≌Rt△CBN 　　∴CP＝BN 　�、诙�∠OCP＝∠OBN＝45° 　　OC＝OB 　　∴△COP≌△BON 　　∴ON＝OP　∠COP＝∠BON 　　又∵OC⊥OB 　　∴∠COB＝∠COP＋∠POB＝90° 　�。健螧ON＋∠POB＝90° 　　∴ON⊥OP 　　(2)S四邊形OPBN＝S△ONB＋S△OPB 　　＝＝4(0＜x≤4) 　　對于圖(2)，(1)①∵ABCD為正方形，AC，BD為對角線， 　　∴∠DCP＝90°， 　　而CM⊥DP，∴∠PCM＝∠PDC 　　∴∠PDB＝∠ACN 　　又∵∠DPB＝∠ANC 　　BD＝AC 　　∴△PDB≌△NCA 　　∴PB＝AN 　　DP＝CN 　　∴CP＝BN 　　②而∠PDB＝∠ACN 　　且OD＝OC 　　∴△PDO≌△NCO 　　∴OP＝ON，∠DOP＝∠CON 　　∵∠DOC＝90°，∴∠PON＝∠NOC＋POC＝∠DOP＋∠POC 　�。健螪OC＝90°，∴OP⊥ON． 　　(2)S四邊形OBNP＝S△OBP＋S△PBN 　�。�(x≥4) 　　點(diǎn)評：這是一個動態(tài)幾何問題，綜合性程度高，圖形也比較復(fù)雜，但我們只要仔細(xì)觀察、冷靜思考、多讀幾遍題目就會找到解決問題的突破口，千萬不能輕易放棄．

提示：

知識點(diǎn)考察：①正方形的性質(zhì)，②三角形外角和定理，③全等三角形的判定， 　�、軆删�垂直的判定，⑤多邊形的面積的分解，⑥函數(shù)解析式的確定， 　�、叻侄魏瘮�(shù)，⑧點(diǎn)到直線的距離． 　　能力考察：①觀察能力，②邏輯思維與推理能力，③書寫表達(dá)能力，④綜合運(yùn)用知識的能力，⑤分類討論的能力．