Question

3．如圖，在平面直角坐標系xOy中，直線y=$\frac{3}{2}$x與雙曲線y=$\frac{6}{x}$相交于A，B兩點，C是第一象限內(nèi)雙曲線上一點，連接CA并延長交y軸于點P，連接BP，BC．若△PBC的面積是24，則點C的坐標為（6，1）．

Answer 1

分析 設C點坐標為（a，$\frac{6}{a}$），根據(jù)反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題解方程組求得A點坐標為（2，3），B點坐標為（-2，-3），再利用待定系數(shù)法確定直線BC的解析式，直線AC的解析式，于是利用y軸上點的坐標特征得到D、P點坐標，然后利用S_△PBC=S_△PBD+S_△CPD得到關(guān)于a的方程，求出a的值即可得到C點坐標．

解答 解：設BC交y軸于D，如圖，設C點坐標為（a，$\frac{6}{a}$）
解方程組$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{3}{2}x}\\{y=\frac{6}{x}}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=3}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=-2}\\{y=-3}\end{array}\right.$，
∴A點坐標為（2，3），B點坐標為（-2，-3），
設直線BC的解析式為y=kx+b，
把B（-2，-3）、C（a，$\frac{6}{a}$）代入得$\left\{\begin{array}{l}{-2k+b=-3}\\{ak+b=\frac{6}{a}}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{3}{a}}\\{b=\frac{6}{a}-3}\end{array}\right.$，
∴直線BC的解析式為y=$\frac{3}{a}$x+$\frac{6}{a}$-3，
當x=0時，y=$\frac{3}{a}$x+$\frac{6}{a}$-3=$\frac{6}{a}$-3，
∴D點坐標為（0，$\frac{6}{a}$-3）
設直線AC的解析式為y=mx+n，
把A（2，3）、C（a，$\frac{6}{a}$）代入得$\left\{\begin{array}{l}{2m+n=3}\\{am+n=\frac{6}{a}}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{m=-\frac{3}{a}}\\{n=\frac{6}{a}+3}\end{array}\right.$，
∴直線AC的解析式為y=-$\frac{3}{a}$x+$\frac{6}{a}$+3，
當x=0時，y=-$\frac{3}{a}$x+$\frac{6}{a}$+3=$\frac{6}{a}$+3，
∴P點坐標為（0，$\frac{6}{a}$+3）
∴PD=（$\frac{6}{a}$+3）-（$\frac{6}{a}$-3）=6，
∵S_△PBC=S_△PBD+S_△CPD，
∴$\frac{1}{2}$×2×6+$\frac{1}{2}$×a×6=24，解得a=6，
∴C點坐標為（6，1）．
故答案為：（6，1）．

點評 本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題：求反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點坐標，把兩個函數(shù)關(guān)系式聯(lián)立成方程組求解，若方程組有解則兩者有交點；若方程組無解則兩者無交點．也考查了用待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式．