Question

3．如圖，AB是半圓O（的）直徑，半徑OC⊥AB，連線AC，∠CAB的平分線AD分別交OC于點(diǎn)E，交$\widehat{BC}$于點(diǎn)D，連接CD、OD．以下結(jié)論錯(cuò)誤的是（　�。�

• A． AC∥OD
• B． CD²=CE•CO
• C． S_△AEC=2S_△DOE
• D． AC=2CD

Answer 1

分析 根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和角平分線的性質(zhì)，利用等量代換求證∠CAD=∠ADO即可得到A正確，過點(diǎn)O作OG⊥AC，再根據(jù)直角三角形斜邊大于直角邊可證D錯(cuò)誤；利用相似三角形的判定與性質(zhì)以及等腰直角三角形的性質(zhì)得出即可C正確；根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得到B正確．

解答 證明：∵AB是半圓直徑，
∴AO=OD，
∴∠OAD=∠ADO，
∵AD平分∠CAB交弧BC于點(diǎn)D，
∴∠CAD=∠DAO=$\frac{1}{2}$∠CAB，
∴∠CAD=∠ADO，
∴AC∥OD，
∴故A選項(xiàng)正確．
如圖1，過點(diǎn)O作OG⊥AC，
∵OG⊥AC，
∴$\widehat{AG}=\widehat{CG}$，
∵半徑OC⊥AB于點(diǎn)O，
∴$\widehat{AG}$=$\widehat{CG}$=$\widehat{CD}$，
∴AG=GC=CD，
∴AC＜2CD，
∴故D選項(xiàng)錯(cuò)誤．
如圖2，過點(diǎn)E作EM⊥AC于點(diǎn)M，
∵AO=CO，AO⊥CO，
∴∠CAO=∠ACO=45°，
∴CM=ME，
∵AD平分∠CAB分別交OC于點(diǎn)E，
EO⊥AO，EM⊥AC，
∴ME=EO，
∴CM=ME=EO，
∴CE=$\sqrt{2}$ME=$\sqrt{2}$EO，
由①得：∵AC∥OD，
∴△ACE∽△DOE，
∴$\frac{EC}{EO}$=$\sqrt{2}$，
∴$\frac{{S}_{△AEC}}{{S}_{△DEO}}$=（$\sqrt{2}$）²=2，
∴S_△AEC=2S_△DEO；故C正確，
∵OC⊥AB，OA=OC，
∴△AOC為等腰直角三角形，
∴∠DOB=∠COD=∠BAC=45°，
∵∠ADC與∠AOC都對(duì)$\widehat{AC}$，
∴∠ADC=$\frac{1}{2}$∠AOC=45°，
∴∠ADC=∠COD，又∠OCD=∠DCE，
∴△DCE∽△OCD，
∴$\frac{DC}{OC}=\frac{CE}{CD}$，即CD²=CE•OC，
故B正確．
故選D．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了圓周角定理，圓心角、弧及弦之間的關(guān)系，以及相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握?qǐng)A周角定理是解本題的關(guān)鍵．