Question

17．如圖，AD是△ABC的高，點P，Q在BC邊上，點R在AC邊上，點S在AB邊上，BC=30cm，AD=20cm，四邊形PQRS是正方形．
（1）求證：AS•BC=AB•SR．
（2）求正方形PQRS的邊長．

Answer 1

分析 （1）由四邊形PQRS是正方形，可得SR∥BC，即可證得△ASR∽△ABC，然后由相似三角形的對應邊成比例，證得結論；
（2）首先設正方形PQRS的邊長為xcm，然后由相似三角形對應高的比等于相似比，得方程：$\frac{x}{30}$=$\frac{20-x}{20}$，解此方程即可求得答案．

解答 （1）證明：∵四邊形PQRS是正方形，
∴SR∥BC，
∴△ASR∽△ABC，
∴AS：AB=SR：BC，
∴AS•BC=AB•SR．

（2）解：設正方形PQRS的邊長為xcm，
∵AD是△ABC的高，SR∥BC，
∴AE是△ASR的高，
則AE=AD-ED=20-x（cm），
∵△ASR∽△ABC，
∴$\frac{SR}{BC}=\frac{AE}{AD}$，
∴$\frac{x}{30}$=$\frac{20-x}{20}$，
解得：x=12，
∴正方形PQRS的邊長為12cm．

點評 此題考查了相似三角形的判定與性質以及正方形的性質．注意掌握方程思想的應用是解此題的關鍵．