Question

19．如圖，在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)是（0，2），點(diǎn)B是x軸上的一個動點(diǎn)，始終保持△ABC是等邊三角形（點(diǎn)A、B、C按逆時針排列），當(dāng)點(diǎn)B運(yùn)動到原點(diǎn)O處時，則點(diǎn)C的坐標(biāo)是（$\sqrt{3}$，1）．隨著點(diǎn)B在x軸上移動，點(diǎn)C也隨之移動，則點(diǎn)C移動所得圖象的解析式是y=$\sqrt{3}$x-2．

Answer 1

分析 如圖，過點(diǎn)C′作C′E⊥y軸，C′F⊥x軸于點(diǎn)F，依題意得C′F=1，利用勾股定理求出OF，然后可得點(diǎn)C的坐標(biāo)；根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)易求點(diǎn)C移動到y(tǒng)軸上的坐標(biāo)是（0，-2），所以根據(jù)這兩個點(diǎn)的坐標(biāo)易求點(diǎn)C移動所得圖象的解析式．

解答 解：如圖，過點(diǎn)C′作C′F⊥x軸于點(diǎn)F，
∵△AOC′是等邊三角形，OA=2，
∴C′F=1．
在Rt△OC′F中，
由勾股定理，得OF=$\sqrt{O{C}^{2}-C{F}^{2}}$=$\sqrt{{2}^{2}-{1}^{2}}$=$\sqrt{3}$．
∴點(diǎn)C′的坐標(biāo)為（$\sqrt{3}$，1）．
∵△AOC′與△ABC都是等邊三角形，
∴AO=AC′，AB=AC，∠BAC=∠OAC′=60°，
∴∠BAC-∠OAC=∠OAC′-∠OAC，
∴∠BAO=∠CAC′，
在△AOB與△AC′C中，
$\left\{\begin{array}{l}{OA=AC′}\\{∠BAO=∠CAC′}\\{AB=AC}\end{array}\right.$
∴△AOB≌△AC′C（SAS）．
∴∠BOA=∠CC′A=90°，
∴點(diǎn)C在過點(diǎn)C′且與AC垂直的直線上，
∵點(diǎn)A的坐標(biāo)是（0，2），△ABC是等邊三角形，
∴點(diǎn)C移動到y(tǒng)軸上的坐標(biāo)是（0，-2），
設(shè)點(diǎn)C所在的直線方程為：y=kx+b（k≠0）．把點(diǎn)（$\sqrt{3}$，1）和（0，-2）分別代入，得$\left\{\begin{array}{l}{\sqrt{3}k+b=1}\\{b=-2}\end{array}\right.$，
解得 $\left\{\begin{array}{l}{k=\sqrt{3}}\\{b=-2}\end{array}\right.$，
所以點(diǎn)C移動所得圖象的解析式是為：y=$\sqrt{3}$x-2．
故答案為（$\sqrt{3}$，1），y=$\sqrt{3}$x-2．

點(diǎn)評 本題綜合考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)等知識．求得點(diǎn)C位于y軸負(fù)半軸上的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵．