Question

如圖，在平面直角坐標系xOy中，拋物線與x軸負半軸交于點A，頂點為B，且對稱軸與x軸交于點C．
（1）求點B的坐標 （用含m的代數(shù)式表示）；
（2）D為BO中點，直線AD交y軸于E，若點E的坐標為（0，2），求拋物線的解析式；
（3）在（2）的條件下，點M在直線BO上，且使得△AMC的周長最小，P在拋物線上，Q在直線 BC上，若以A、M、P、Q為頂點的四邊形是平行四邊形，求點P的坐標．

Answer 1

解：（1）∵，
∴拋物線的頂點B的坐標為．

（2）令，解得x₁=0，x₂=m．
∵拋物線與x軸負半軸交于點A，
∴A （m，0），且m＜0．
過點D作DF⊥x軸于F，如右圖；
由D為BO中點，DF∥BC，可得CF=FO=．
∴DF=．
由拋物線的對稱性得 AC=OC．
∴AF：AO=3：4．
∵DF∥EO，
∴△AFD∽△AOE．
∴．
由E （0，2），B，得OE=2，DF=．
∴．
∴m=-6．
∴拋物線的解析式為．

（3）依題意，得A（-6，0）、B （-3，3）、C （-3，0）．可得直線OB的解析式為y=-x，直線BC為x=-3．
作點C關(guān)于直線BO的對稱點C′（0，3），連接AC′交BO于M，則M即為所求．
由A（-6，0），C′（0，3），可得直線AC′的解析式為．
由解得
∴點M的坐標為（-2，2）．
由點P在拋物線上，設(shè)P （t，）．
（�。┊擜M為所求平行四邊形的一邊時．
①如右圖，過M作MG⊥x軸于G，過P₁作P₁H⊥BC于H，
則x_G=x_M=-2，x_H=x_B=-3．
由四邊形AM P₁Q₁為平行四邊形，可證△AMG≌△P₁Q₁H．
可得P₁H=AG=4．
∴t-（-3）=4．
∴t=1．
∴．
②如右圖，同①方法可得 P₂H=AG=4．
∴-3-t=4．
∴t=-7．
∴．
（ⅱ）當AM為所求平行四邊形的對角線時，如右圖；
過M作MH⊥BC于H，過P₃作P₃G⊥x軸于G，則x_H=x_B=-3，x_G==t．
由四邊形AP₃MQ₃為平行四邊形，可證△A P₃G≌△MQ₃H．
可得AG=MH=1．
∴t-（-6）=1．
∴t=-5．
∴．
綜上，點P的坐標為、、．
分析：（1）利用配方法或公式法都能求出點B的坐標．
（2）可過點D作DF⊥x軸于F，那么DF是△BOC的中位線，由此得出DF、OF、CF的長；再由△AFD∽△AOE得出的比例線段以及OE的長，即可求出m的值，由此確定函數(shù)的解析式．
（3）此題中，首先要確定點M的位置：已知“△AMC的周長最小”，那么可作點C關(guān)于直線BO的對稱點C′，連接AC′與直線BO的交點即為符合條件的點M；
確定點M后，由于所求平行四邊形的四頂點順序并不確定，所以分：AM為邊和AM為對角線兩種情況討論；在解答時，可根據(jù)平行四邊形的對邊平行且相等的特點，過P、Q作坐標軸的垂線，通過構(gòu)建全等三角形來確定點P的坐標．
點評：此題主要考查的是函數(shù)解析式的確定、全等三角形與相似三角形的應(yīng)用以及平行四邊形的特點等重要知識點；難點是最后一題，首先要根據(jù)軸對稱圖形的特點以及兩點間線段最短確定點M的位置，再根據(jù)平行四邊形以及全等三角形的特點來設(shè)、求點P的坐標，一個小題中就涉及到眾多知識點，同時要注意的是平行四邊形四頂點順序不確定時，一定要分情況討論，以免漏解．