Question

（1）如圖1，AB為⊙O的直徑，直線l交⊙O于C、D，過(guò)A、B分別作l的垂線，垂足分別為E、F，經(jīng)推證，可得出結(jié)論EC=DF，證明過(guò)程中輔助線的添法是

 

；
（2）上題中，若把l繼續(xù)向上平行移動(dòng)，使弦CD與直徑AB交于P（P與A、B不重合），在其它條件不變的情況下，請(qǐng)你在圖2中將變化后的圖形畫(huà)出來(lái)，標(biāo)好對(duì)應(yīng)字母，并寫(xiě)出與（1）相應(yīng)成立的結(jié)論等式，并判斷你寫(xiě)的結(jié)論是否成立，若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由；若成立，請(qǐng)給予證明，結(jié)論

 

；
（3）若（2）中⊙O半徑為5cm，∠CPB=150°，且AP：BP=7：3，試求弦CD的長(zhǎng)度．

Answer 1

分析：（1）作輔助線，過(guò)O作OG⊥EF于G，由垂徑定理可得：CG=DG，又AE∥OG∥BF，OA=OB，
由平行線等分線段定理得：EG=FG．故：EG-CG=FG-DG，即：EC=DF；
（2）證明過(guò)程同（1），可得：EC=DF；
（3）作輔助線，連接OD，由∠CPA=150°，可得：∠OPG=30°，AB=10，AP：BP=7：3，可得AP=7，BP=3，OP=2．
OG=sin30°×OP=1．
在Rt△OGD中，運(yùn)用勾股定理可將DG求出，由垂徑定理可得：CD=2DG．

解答：解：

（1）過(guò)O作OG⊥EF于G，可得：CG=DG
∵AE⊥CD，OG⊥CD，BF⊥CD，∴AE∥OG∥BF
∵OA=OB，∴EG=FG
∴EG-CG=FG-DG
∴EC=DF

（2）EC=DF依然成立，證明過(guò)程同（1）
過(guò)O作OG⊥EF于G，可得：CG=DG
∵AE⊥CD，OG⊥CD，BF⊥CD，∴AE∥OG∥BF
∵OA=OB，∴EG=FG
∴EG-CG=FG-DG
∴EC=DF

（3）連接OD
∵⊙O的半徑為5，AP：BP=7：3，∴AP=7，BP=3，OP=2
∵∠CPB=150°，∴∠OPG=30°
在Rt△OPG中，OG=sin30°×OP=1
在Rt△OGD中，DG=

OD2-OG2

=

52-12

=2

6

故：CD=2DG=4

6

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查垂徑定理的應(yīng)用，在解此類(lèi)題一般要把半徑、弦心距、弦的一半構(gòu)建在一個(gè)直角三角形里，運(yùn)用勾股定理求解．