Question

已知：?ABCD中，AC⊥CD，點E在射線CB上，點F在射線DC上，且∠EAF=∠B．
（1）當(dāng)∠BAD=135°時，若點E在線段CB上，點F在線段DC上（如圖1），求證：BE+DF=AD；
（2）當(dāng)∠BAD=120°時，若點E在線段CB上，點F在線段DC上（如圖2），則AD、BE、DF之間的數(shù)量關(guān)系是______；
（3）當(dāng)∠BAD=120°時，連接EF，設(shè)直線AF、直線BC交于點Q，當(dāng)AB=3，BE=2時，求EQ和EF的長．

Answer 1

解：（1）證明：∵∠BAD=135°，且∠BAC=90°，
∴∠CAD=45°，即△ABC、△ADC都是等腰直角三角形；
∴AD=AC，且∠D=∠ACB=45°；
又∵∠EAC=∠DAF=45°-∠FAC，
∴△AEC∽△AFD，
∴AE：AD=EC：FD=1：，即EC=FD；
∴BC=BE+DF，即BE+DF=AD．

（2）2BE+DF=AD；理由如下：
取BC的中點G，連接AG；
易知：∠DAC=∠BCA=30°，∠B=∠D=60°；
在Rt△ABC中，G是斜邊BC的中點，則：
∠AGE=60°，AD=BC=2AG；
∵∠GAD=∠AGE=60°=∠EAF，
∴∠EAG=∠FAD=60°-∠GAF；
又∵∠AGE=∠D=60°，
∴△AGE∽△ADF，得：AG：AD=EG：FD=1：2；
即FD=2EG；
∴BC=2BG=2（BE+EG）=2BE+2EG=2BE+DF，即AD=2BE+DF．

（3）在Rt△ABC中，∠ACB=30°，AB=3，則BC=AD=6，EC=4．
①如圖（2）①，過F作FH⊥BQ于H；
同（2）可知：DF=2EG=2，CF=CD-DF=1；
在Rt△CFH中，∠FCH=60°，則：
CH=，F(xiàn)H=；
易知：△ADF∽△QCF，由DF=2CF，可得CQ=AD=3；
∴EQ=EC+CQ=4+3=7；
在Rt△EFH中，EH=EC+CH=，F(xiàn)H=；
由勾股定理可求得：EF=．
②如圖（2）②；
∵∠EAF=∠GAD=60°，
∴∠EAG=∠FAD=60°+∠FAG，
又∵∠EGA=∠D=60°，
∴△EAG∽△FAD，得：EG：FD=AG：AD=1：2；
即FD=2EG=10，F(xiàn)C=10-CD=7；
在Rt△FCN中，∠FCN=60°，
易求得FN=，NC=，GN=；
在等邊△ABG中，AM⊥BG，易求得AM=，MG=，MN=MG-GN=1；
由于△AMQ∽△FNQ，得：AM：FN=MQ：NQ=3：7，即QN=，MQ=；
EQ=EB+BM+MQ=2++=；
Rt△EFN中，EN=EG-NG=5-=，F(xiàn)N=，
由勾股定理，得：EF=；
綜上可知：EQ=7或，EF=或．
分析：（1）此題要通過相似三角形求解；根據(jù)∠EAF=∠CAD=45°，可證得∠EAC=∠FAD，而∠ACB=∠D=45°，即可得△AEC∽△AFD，根據(jù)AC、AD的比例關(guān)系，即可得EC、FD的比例關(guān)系，由此得解．
（2）按照（1）的思路，此題要構(gòu)造相似三角形來求解；取BC的中點G，連接AG；首先通過證△AGC∽△AFD來得到EG、FD的比例關(guān)系，然后根據(jù)BC=2（BE+EG）求得BE、CF、AD的等量關(guān)系式．
（3）此題應(yīng)分兩種情況：
①如（2），點E、F分別在線段BC、CD上；過F作FH⊥BQ于H，由（2）的相似三角形易得FD=2EG=2，那么CF=1，在Rt△CFH中，即可求出FH、CH的值；進(jìn)而可由勾股定理求得EF的長；由相似三角形△ADF∽△QCF易得CQ的長，即可求出EQ的值；
②點E、Q分別在CB、DC的延長線上；分別過A、F作BC的垂線，設(shè)垂足為M、N；易求得AM、FN、BM、EN的長，進(jìn)而可求出GM、MN的值，根據(jù)AM、FN的長，易求得△AMQ、FNQ的相似比，即可求出NQ、MQ的值，從而求得EQ、EF的長，由此得解．
點評：此題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)以及勾股定理、直角三角形性質(zhì)的綜合應(yīng)用，同時還涉及到分類討論的數(shù)學(xué)思想，難度較大．