Question

如圖，直角坐標(biāo)系中，菱形ABCD的頂點(diǎn)C與原點(diǎn)O重合，點(diǎn)B在y軸的正半軸上，點(diǎn)A在雙曲線y=

k

x

（x＞0）上，tanA=

4

3

，若菱形ABCD向右平移5個(gè)單位后，點(diǎn)D也恰好落在此雙曲線上，則k=

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：反比例函數(shù)綜合題

專題：綜合題

分析：延長(zhǎng)DD′交y軸于E，延長(zhǎng)AD交x軸于F，根據(jù)菱形的性質(zhì)得OD=AD，∠A=∠BCD，由菱形ABCD向右平移5個(gè)單位得DE⊥y軸，根據(jù)正切的定義得到tan∠ECD=tan∠A=

ED

OE

=

4

3

，
可設(shè)ED=4a，則OE=3a，根據(jù)勾故定理計(jì)算出CD=5a，可得到A點(diǎn)坐標(biāo)為（4a，8a），D′的坐標(biāo)為（4a+5，3a），再根據(jù)反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征得到4a•8a=3a（4a+5），解得a=

3

4

（a=0舍去），則可確定A點(diǎn)坐標(biāo)，然后把A點(diǎn)坐標(biāo)代入反比例解析式可求得k的值．

解答：解：延長(zhǎng)DD′交y軸于E，延長(zhǎng)AD交x軸于F，如圖，
∵四邊形ABCD為菱形，
∴OD=AD，∠A=∠BCD，
∵菱形ABCD向右平移5個(gè)單位，
∴DE⊥y軸，
在Rt△CDE中，tan∠ECD=tan∠A=

ED

OE

=

4

3

，
設(shè)ED=4a，則OE=3a，
∴CD=

(4a)2+(3a)2

=5a，
∴AD=5a，DF=3a，
∴A點(diǎn)坐標(biāo)為（4a，8a），
∴D′的坐標(biāo)為（4a+5，3a），
∵點(diǎn)A和點(diǎn)D′在雙曲線y=

k

x

（x＞0）上，
∴4a•8a=3a（4a+5），
∴a=

3

4

（a=0舍去），
∴A點(diǎn)坐標(biāo)為（3，6），
把A（3，6）代入y=

k

x

得k=3×6=18．
故答案為18．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了反比例函數(shù)的綜合題：點(diǎn)在反比例函數(shù)圖象上，則點(diǎn)的坐標(biāo)滿足其解析式；熟練掌握菱形的性質(zhì)和銳角三角函數(shù)的定義；利用勾股定理進(jìn)行幾何計(jì)算．