Question

如圖，梯形ABCD中，AB∥CD，AB=125，AD=DC=80，問對角線BD能否把梯形分成兩個相似的三角形？若不能，給出證明；若能，求出BC、BD的長．

Answer 1

解：假設能分成兩個相似的三角形，
∵AB∥CD，
∴∠ABD=∠BDC．
則兩個相似三角形有下面兩種情況：
（1）△ABD∽△BDC
∴==，
即：==，
解得：BD=100，BC=64．

（2）△ABD∽△CDB，
∴==，
即：==1．
顯然≠1，所以不能這樣對應相似．
所以只能是：△ABD∽△BDC，
此時BC=64，BD=100．
分析：先假設能分成兩個相似的三角形，根據兩直線平行，內錯角相等，可以找到一對對應頂點，寫出兩組相似三角形，然后利用相似三角形的性質求出BC與BD的長，對使對應邊的比不等的三角形要舍去．
點評：本題考查的是相似三角形的判定與性質，根據梯形的兩底平行內錯角相等，找到一對對應頂點，因為另兩個對應頂點不確定，所以寫出兩組相似三角形，再用相似三角形的性質進行計算，求出BC與BD的值．