Question

在等腰梯形ABCD中，AB=DC=AD=a，∠C=60°，點E從點B出發(fā)向點D移動，以點E為圓心，半徑為1作圓，記⊙E到AB的距離為d．
（1）若a=2，當d為何值時，⊙E與AD相切？
（2）當a為何值時，⊙E在運動過程中會與AB、AD同時相切？

Answer 1

解：取BC中點為F，連接AF，DF，設AF與BD交點為G，AF，BD為菱形ABFD的對角線，AF垂直BD，∠ADB=∠ABD=30°，
（1）若a=2，AG=AD•sin30°=1，
當圓E與AD相切時，設切點為M，即EM=1=AD，
此時ED=AD=2，BE=BD-ED=2×2cos30°-2=2-2，
E到AB距離為BEsin30°=（2-2）=-1；

（2）當圓E與AB，AD同時相切時，E點與G點重合且EM=1，
則DE=1÷sin30°=2，
AD=DE÷cos30°=2÷=，
即a=．
分析：（1）取BC中點為F，連接AF，DF，設AF與BD交點為G，則AF，BD為菱形ABFD的對角線，AF垂直BD，∠ADB=∠ABD=30度，由三角函數(shù)求出d；
（2）當圓E與AB，AD同時相切時，E點與G點重合且EM=1，利用三角函數(shù)求得DE和AD，進而求出a．
點評：本題考查了等腰三角形的性質和直線和圓的位置關系，熟練掌握三角函數(shù)的定義是解此題的關鍵．