Question

9．已知四邊形ABCD中，AB=AD，CA平分△BCD，AE⊥CD交CD延長線于E．請問線段BC，CE及DE間有何關(guān)系？說明理由．

Answer 1

分析 根據(jù)角平分線的性質(zhì)，可得AF與AE的關(guān)系，根據(jù)全等三角形的判定與性質(zhì)，可得AF與CE的關(guān)系，BF與DE的關(guān)系，根據(jù)線段的和差，可得BC=BF+CF，再根據(jù)等量代換，可得答案．

解答 解：BC=CE+DE，理由如下：
如圖：作AF⊥BC于F點，
∵CA平分△BCD，AE⊥CD交CD延長線于E，AF⊥BC于F點，
∴AF=AE，∠AEC=∠AFC=90°．
在Rt△ACE和Rt△ACF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AE=AF}\\{AC=AC}\end{array}\right.$，
∴Rt△ACE≌Rt△ACF （HL），
∴CE=CF．
在Rt△ABF和Rt△ADE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AD}\\{AF=AE}\end{array}\right.$，
∴Rt△ABF≌Rt△ADE （HL），
∴BF=DE．
∵BC=BF+CF，
∴BC=DE+CE．

點評 本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，利用了“HL”判定全等三角形全等是解題關(guān)鍵，又利用了全等三角形的對應(yīng)邊相等．