【題目】ABC中,AB=AC,BAC=α,點P是△ABC內一點,且.連接PB,試探究PA,PB,PC滿足的等量關系.

圖1 圖2

(1)當α=60°時,ABP繞點A逆時針旋轉60°得到,連接,如圖1所示

可以證得是等邊三角形,再由可得APC的大小為 度,進而得到是直角三角形,這樣可以得到PA,PB,PC滿足的等量關系為

(2)如圖2,當α=120°時,請參考(1)中的方法,探究PA,PB,PC滿足的等量關系,并給出證明

(3)PA,PB,PC滿足的等量關系為

【答案】1150, 2證明見解析3

【解析】試題分析:(1)根據(jù)旋轉變換的性質得到PAP為等邊三角形,得到∠PPC90°,根據(jù)勾股定理解答即可;

2)如圖2,作將ABP繞點A逆時針旋轉120°得到ACP,連接PP,作ADPPD,根據(jù)余弦的定義得到PPPA,根據(jù)勾股定理解答即可;

3)與(2)類似,根據(jù)旋轉變換的性質、勾股定理和余弦、正弦的關系計算即可.

試題解析:

解:(1∵△ABP≌△ACP′,

APAP,

由旋轉變換的性質可知,∠PAP60°,PCPB,

∴△PAP為等邊三角形,

∴∠APP60°,

∵∠PACPCA×60° 30°,

∴∠APC150°

∴∠PPC90°,

PP2PC2PC2

PA2PC2PB2,

故答案為:150,PA2PC2PB2;

2如圖,作°,使,連接 .過點AADD點.

°,

,

ABAC ,

.

, °

AD,

°.

∴在Rt 中, .

°,

°.

°

∴在Rt 中, .

3)如圖2,與(2)的方法類似,

作將ABP繞點A逆時針旋轉α得到ACP,連接PP

ADPPD,

由旋轉變換的性質可知,∠PAPα,PCPB,

∴∠APP90°

∵∠PACPCA,

∴∠APC180°

∴∠PPC=(180°)-(90°)=90°,

PP2PC2PC2

∵∠APP90°,

PDPAcos90°)=PAsin,

PP2PAsin,

4PA2sin2PC2PB2,

故答案為:4PA2sin2PC2PB2

練習冊系列答案
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(9x)2+(x4)2=a2+b2=(a+b)22ab=522×4=13

請仿照上面的方法求解下面問題:

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(2)閱讀分析

小東遇到這樣一個問題:如圖2,在Rt△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,射線AMBC于點D,點EFAM上,且∠CEM=BFM=90°,試判斷BF,CE,EF三條線段之間的數(shù)量關系.

小東利用一對全等三角形,經(jīng)過推理使問題得以解決.

填空:①圖2中的一對全等三角形為_________;

BF,CE,EF三條線段之間的數(shù)量關系為__________________.

(3)類比探究

如圖3,在四邊形ABCD中,AB=AD,ACBD交于點O,點E、F在射線AC上,且∠BCF=DEF=BAD.

判斷BC,DE,CE三條線段之間的數(shù)量關系,并說明理由;

②若OD=3OB,△AED的面積為2,直接寫出四邊形ABCD的面積.

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