Question

11．如圖，在∠EAF的平分線上取點B作BC⊥AF于點C，在直線AC上取一動點P，順時針作∠PBQ=2∠ABC，另一邊交AE于點Q．
（1）當點P在點A右側時，求證：AQ+AP=2AC；
（2）當點P在點A左側時，AQ、AP、AC三條線段的數(shù)量關系為AQ-AP=2AC．（不證明）

Answer 1

分析 （1）作BM⊥AE垂足為M，先證明△ABM≌△ABC得∠PBQ=∠CBM=2∠ABC，推出∠MBQ=∠PBC再證明△BCP≌△BMQ得MQ=PC，根據(jù)線段和差定義即可證明．
（2）結論是AQ-AP=2AC，證明方法類似（1）．

解答 證明：（1）如圖1，作BM⊥AE垂足為M，
∵BC⊥AF，
∴∠BMA=∠BCA=90°，
在△ABM和△ABC中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BMA=∠BCA}\\{∠BAM=∠BAC}\\{BA=BA}\end{array}\right.$，
∴△ABM≌△ABC，
∴∠ABM=∠ABC，AM=AC，BM=BC，
∵∠PBQ=2∠ABC，
∴∠PBQ=∠CBM，
∴∠CBP=∠MBQ，
在△BCP和△BMQ中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠PBC=∠QBM}\\{BC=BM}\\{∠BCP=∠BMQ}\end{array}\right.$，
∴△BCP≌△BMQ，
∴QM=PC，
∴AQ+AP=（AM+MQ）+（AC-PC）=2AC．
（2）結論：AQ-AP=2AC，理由如下：
如圖2，作BM⊥AE垂足為M，
∵BC⊥AF，
∴∠BMA=∠BCA=90°，
在△ABM和△ABC中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BMA=∠BCA}\\{∠BAM=∠BAC}\\{BA=BA}\end{array}\right.$，
∴△ABM≌△ABC，
∴∠ABM=∠ABC，AM=AC，BM=BC，
∵∠PBQ=2∠ABC，
∴∠PBQ=∠CBM，
∴∠CBP=∠MBQ，
在△BCP和△BMQ中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠PBC=∠QBM}\\{BC=BM}\\{∠BCP=∠BMQ}\end{array}\right.$，
∴△BCP≌△BMQ，
∴QM=PC，
∴AQ-AP=（AM+QM）-（PC-AC）=2AC．
故答案為AQ-AP=2AC．

點評 本題考查角平分線的性質、全等三角形的判定和性質等知識，掌握這類問題的輔助線的添法是解題的關鍵．