Question

（2001•南京）如圖，AB是⊙O的直徑，P在AB的延長線上，PD與⊙O相切于D，C在⊙O上，PC=PD．
（1）求證：PC是⊙O的切線；
（2）連接AC，若AC=PC，PB=1，求⊙O的半徑．

Answer 1

【答案】分析：（1）要證PC是⊙O的切線，只要連接OC，OD，通過證明△OCP≌△ODP得出∠OCP=90°即可．
（2）求出∠CPA的度數，運用三角函數得出⊙O的半徑．
解答：（1）證明：連接OC，OD；
∵PD與⊙O相切于D，
∴∠PDO=90°．
∵C在⊙O上，PC=PD，OP=OP，OC=OD，
∴△OCP≌△ODP，
∴∠OCP=90°．
∴PC是⊙O的切線．

（2）解：連接AC，
∵AC=PC，
∴∠CAO=∠CPA；
∵∠PCO=90°，∠COP=2∠CAO
∴∠CPA+∠C0P=3∠CPA=90°，
∴∠CPA=30°．
∵在直角△OCP中，∠CPA=30°，
∴OC=OP，
∴OC=0.5（1+OB）；
∵OC=OB，
∴OC=1，
∴⊙O的半徑為1．
點評：本題考查了切線的判定．要證某線是圓的切線，已知此線過圓上某點，連接圓心與這點（即為半徑），通過切線的性質證明．同時考查了運用三角函數求長度．