Question

如圖：⊙C經過原點O，并與兩坐標軸交于A、D兩點，CE⊥OA垂足為點E，交⊙C于點F，∠OBA=30°，點A 的坐標是（2，0）
（1）求∠OCF的度數
（2）求點D和圓心C的坐標．

Answer 1

分析：（1）根據垂徑定理得出弧OF=弧AF，根據圓周角定理求出∠OCF=∠OBA即可；
（2）過C作CM⊥OD于M，根據垂徑定理求出OE，根據含30度角的直角三角形性質和勾股定理求出CE即可；得出矩形CMOE求出OM，根據垂徑定理求出OD=2OM，代入求出即可．

解答：（1）解：∵CF⊥OA，CF過圓心C，
∴弧OF=弧AF，
∴弧OA=2弧OF，
∴∠OCF=∠OBA=30°．

（2）解：在Rt△OCE中，OE=

1

2

OA=1，
∵∠OCF=30°，
∴OC=2，
由勾股定理得：CF=

3

，
∴C（1，

3

）；
過C作CM⊥OD于M，
∵∠CMO=∠DOA=∠CEO=90°，
∴四邊形MCEO是矩形，
∴MO=CE=

3

，
由垂徑定理得：OD=2OM=2

3

，
∴D的坐標是（0，2

3

）．
答：點D和圓心C的坐標分別是（0，2

3

），（1，

3

）．

點評：本題綜合考查了勾股定理，點的坐標，含30度角的直角三角形，圓周角定理，垂徑定理等知識點的應用，熟練的運用垂徑定理進行計算是解此題的關鍵，題目比較典型，難度也不大．