Question

△ABC中，D、E分別為BC、AC邊上的動點，BD=mCD，AE=nEC，AD與BE相交于點O．
（1）如圖1，當m=2，n=1時，=______，=______；
（2）當m=1.5時，求證：；
（3）如圖2，若CO的延長線交AGB于點F，當m、n之間滿足關系式______時，AF=2BF．（直接填寫結果，不要求證明）

Answer 1

（1）解：過點E作EF∥BC，交AD于F，
∴，
∵AE=EC，
∴，
∵BD=2CD，
∴，
∵=4，
∴，
∴，
∵，，
∴，
設S_△OEF=x，則S_△AEF=5x，S_△ABC=20x，
∴S_△AOE=6x，S_{四邊形CDOE}=14x，
∴；

（2）證明：如圖，過點D作DF∥AC交BE于點F，
∴=，=，
∵BD=mCD，AE=nEC，
∴FD=×CE=CE，
∴=•，
∵m=1.5，
∴=•，
即=；

（3）解：過點D作DH∥AB交FC于點H，與（2）同理可得，
=，=，
∵BD=mCD，
∴DH=•BF=BF，
∴=（m+1），
∵=•，AE=nEC，
∴=•=，
∴當AF=2BF時，=2，
解得n=2m．
故答案為：（1），；（3）n=2m．
分析：（1）過點E作EF∥BC，交AD于F，根據(jù)n=1可知點E是AC的中點，所以EF=DC，再根據(jù)m=2可以整理出EF與BD的比，從而得到OB與OE的比值，可得；根據(jù)相似三角形面積的比等于相似比的平方，先求出△AEF與△ACD的比值，再根據(jù)等高的△AEF與△OEF面積的比等于底邊的比求出△AEF與△OEF的面積的比，然后用△OEF的面積表示出△AEF的面積，然后結合圖形解答；
（2）過點D作DF∥AC交BE于點F，根據(jù)平行線分線段成比例定理可以得到=，=，然后再把BD=mCD，AE=nEC代入即可得到OA、OD、AE、CE四條線段與m、n的關系，把m=1.5代入計算即可得證明；
（3）同（2）的思路，過點D作DH∥AB交FC于點H，可以得到AF、FB與m、n的關系，然后把AF=2BF代入即可得到m、n的關系．
點評：本題考查了平行線分線段成比例定理，相似三角形的判定與性質，綜合性較強，合理作出輔助線是解題的關鍵，難度較大，極富挑戰(zhàn)性．