Question

求方程（x²+y）（x+y²）=（x-y）³的所有非零整數(shù)解．

Answer 1

考點：非一次不定方程（組）

專題：

分析：先將方程（x²+y）（x+y²）=（x-y）³整理變形得到y(tǒng)=

1+3x

3-x

=-3+

10

3-x

，再根據(jù)10的約數(shù)情況求得方程的所有非零整數(shù)解．

解答：解：將原方程整理：x³+x²y²+xy+y³=x³-3x²y+3xy²+y³（x≠0，y≠0），
xy+1=3y-3x，
y=

1+3x

3-x

=-3+

10

3-x

，
當x=-7時，y=-2；
當x=-2時，y=-1；
當x=1時，y=2；
當x=2時，y=7；
當x=4時，y=-13；
當x=5時，y=-8；
當x=8時，y=-5；
當x=13時，y=-4．
故方程（x²+y）（x+y²）=（x-y）³的所有非零整數(shù)解是

x=-7 y=-2

，

x=-2 y=-1

，

x=1 y=2

，

x=2 y=7

，

x=4 y=-13

，

x=5 y=-8

，

x=8 y=-5

，

x=13 y=-4

．

點評：考查了非一次不定方程（組），解題的關(guān)鍵是將方程（x²+y）（x+y²）=（x-y）³整理變形得到y(tǒng)=

1+3x

3-x

=-3+

10

3-x

．