Question

如圖，AB為⊙O直徑，C、D為⊙O上不同于A、B的兩點(diǎn)，∠ABD=2∠BAC，連接CD．過(guò)點(diǎn)C作CE⊥DB，垂足為E，直線AB與CE相交于F點(diǎn)．
（1）求證：CF為⊙O的切線；
（2）當(dāng)BF=5，sinF=

3

5

時(shí)，求BD的長(zhǎng)．

Answer 1

考點(diǎn)：切線的判定,相似三角形的判定與性質(zhì)

專題：

分析：（1）連接OC．先根據(jù)等邊對(duì)等角及三角形外角的性質(zhì)得出∠3=2∠1，由已知∠4=2∠1，得到∠4=∠3，則OC∥DB，再由CE⊥DB，得到OC⊥CF，根據(jù)切線的判定即可證明CF為⊙O的切線；
（2）連結(jié)AD．先解Rt△BEF，得出BE=BF•sinF=3，由OC∥BE，得出△FBE∽△FOC，則

FB

FO

=

BE

OC

，設(shè)⊙O的半徑為r，由此列出方程，解方程求出r的值，由AB為⊙O直徑，得出AB=15，∠ADB=90°，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理證明∠F=∠BAD，則由sin∠BAD=

BD

AB

=

3

5

，求出BD的長(zhǎng)．

解答：（1）證明：連接OC．
∵OA=OC，
∴∠1=∠2．
又∵∠3=∠1+∠2，
∴∠3=2∠1．
又∵∠4=2∠1，
∴∠4=∠3，
∴OC∥DB．
∵CE⊥DB，
∴OC⊥CF．
又∵OC為⊙O的半徑，
∴CF為⊙O的切線；

（2）解：連結(jié)AD．
在Rt△BEF中，∵∠BEF=90°，BF=5，sinF=

3

5

，
∴BE=BF•sinF=3．
∵OC∥BE，
∴△FBE∽△FOC，
∴

FB

FO

=

BE

OC

．
設(shè)⊙O的半徑為r，
∴

5

5+r

=

3

r

，
∴r=

15

2

．
∵AB為⊙O直徑，
∴AB=15，∠ADB=90°，
∵∠4=∠EBF，
∴∠F=∠BAD，
∴sin∠BAD=

BD

AB

=sinF=

3

5

，
∴

BD

15

=

3

5

，
∴BD=9．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了切線的判定，解直角三角形，相似三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)．要證某線是圓的切線，已知此線過(guò)圓上某點(diǎn)，連接圓心與這點(diǎn)（即為半徑），再證垂直即可．