Question

受歐美危機影響，2011年前11個月，兄弟物流公司每千克的運輸成本y（元）與月份x呈現如下變化規(guī)律y=0.005ax²-0.015ax+3.56a（a為正常數），面對運輸成本的不斷增加，該公司對快遞商品的收費價格也作出了相應調整，調整后每千克的收費z（元）與月份x（1≤x≤11）之間滿足z=0.055ax+6.395a．
（1）前11個月中，每運輸1千克商品，在哪一個月的利潤最大？
（2）進入12月份后柴油供應緊張，導致運輸成本隨柴油價格的變化而繼續(xù)上漲，12月份的運輸成本比11月份每千克提高b%，于是該公司在12月份也調整收費價格，開始計劃在11月份的收費價格基礎上每千克漲價b%，但物價部門規(guī)定上漲百分數不得超過12%，該公司12月份實際收費價格比原計劃下降了0.3b%，12月份該公司每運輸1千克商品的利潤比11月份少0.069a元，求12月份的運輸成本比11月份每千克提高的百分數．

Answer 1

考點：二次函數的應用

專題：應用題

分析：（1）設運輸一千克貨物的利每潤為W元，用每千克的收費z減去每千克的運輸成本y，再配成頂點式得到W=-0.005a[（x-7）²-616]，然后根據二次函數的性質解決問題；
（2）先計算出11月份每運輸1千克商品的收費、每千克的運輸成本和利潤，根據增長率表示12月的1千克商品的收費、每千克的運輸成本，則7a（1+b%）（1-0.3b%）-4a（1+b%）=3a+0.069a，令b%=m，則原方程變形為：7m²-3m+0.23=0，再解關于m的一元二次方程，最后根據上漲百分數不得超過12%確定提高的百分數．

解答：解：（1）設運輸一千克貨物的利每潤為W元，由題意得：
W=z-y=0.055ax+6.395a-（0.005ax²-0.015ax+3.56a），
=-a（0.005x²-0.07x-2.835），
=-0.005a[（x-7）²-616]，
∴-0.05a＜0，
∴x=7時，W最大．
答：在第7月時，每運輸1千克商品的利潤最大；
（2）當x=11時，y=0.005a×11²-0.015a×11+3.56a=4a，z=0.055a×11+6.395a=7a，
11月份每運輸1千克商品的利潤為7a-4a=3a，
由題意得：7a（1+b%）（1-0.3b%）-4a（1+b%）=3a+0.069a，
令b%=m，則原方程變形為：7m²-3m+0.23=0，
解得：m₁=0.1，m₂=

2.3

7

≈0.33（舍去），
而上漲百分數不得超過12%，
所以m=10%．
答：12月份的運輸成本比11月份每千克提高的百分數為10%．

點評：本題考查了二次函數的應用：在商品經營活動中，經常會遇到求最大利潤，最大銷量等問題．解此類題的關鍵是通過題意，確定出二次函數的解析式，然后確定其最大值，實際問題中自變量x的取值要使實際問題有意義，因此在求二次函數的最值時，一定要注意自變量x的取值范圍．