Question

【題目】如圖，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，點(diǎn)D、E在邊AB上，且∠DCE=45°

（1）以點(diǎn)C為旋轉(zhuǎn)中心，將△ADC順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，畫出旋轉(zhuǎn)后的圖形；

（2）若AD=2，BE=3，求DE的長(zhǎng)；

（3）若AD=1，AB=5，直接寫出DE的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）DE=；（3）DE的長(zhǎng)為．

【解析】

試題分析：（1）利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)作圖；

（2）連結(jié)EF，如圖，先根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得∠A=∠ABC=45°，再根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得CD=CF，BF=AD=2，∠DCF=90°，∠CBF=∠A=45°，則可根據(jù)“SAS”判斷△DCE≌△FCE，得到DE=FE，然后在△BEF中利用勾股定理計(jì)算EF，從而得到DE的長(zhǎng)；

（3）設(shè)ED=x，則BE=4﹣x，由（2）的證明得到EF=DE=x，BF=AD=1，然后在Rt△BEF中利用勾股定理得到12+（4﹣x）2=x2，再解方程即可．

解：（1）如圖，△BCF為所作；

（2）連結(jié)EF，如圖，

∵∠ACB=90°，AC=BC，

∴∠A=∠ABC=45°，

∵△ADC順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△BCF，

∴CD=CF，BF=AD=2，∠DCF=90°，∠CBF=∠A=45°，

∵∠DCE=45°，

∴∠FCE=45°，

在△DCE和△FCE中

，

∴△DCE≌△FCE，

∴DE=FE，

在△BEF中，∵∠EBC=45°，∠CBF=45°，

∴∠EBF=90°，

∴EF==，

∴DE=；

（3）∵AD=1，AB=5，

∵BD=4，

設(shè)ED=x，則BE=4﹣x，

由（2）得EF=DE=x，BF=AD=1，

在Rt△BEF中，12+（4﹣x）2=x2，解得x=，

即DE的長(zhǎng)為．