Question

如圖，直角坐標(biāo)系，A點(diǎn)是第二象限一點(diǎn)，AB⊥x軸于B，且C（0，2）是y軸正半軸上一點(diǎn)，OB-OC=2，S_{四邊形ABOC}=11．
（1）求A點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）設(shè)D為線段OB上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)∠COE=∠A時(shí)，CD與AC之間存在怎樣的位置關(guān)系，并證明；
（3）當(dāng)D點(diǎn)在線段OB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，作DE⊥CD交于AB于E，∠BED和∠DCO的平分線交于M，現(xiàn)給出兩個(gè)結(jié)論：
①∠M的大小不變；
②∠BED+∠CDO的大小不變．
其中只有一個(gè)結(jié)論正確，請你判斷哪個(gè)結(jié)論正確，并說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：坐標(biāo)與圖形性質(zhì),三角形的面積,三角形內(nèi)角和定理,三角形的外角性質(zhì)

專題：計(jì)算題

分析：（1）由C點(diǎn)坐標(biāo)得到OB=2+OC=4，則B點(diǎn)坐標(biāo)為（-4，0），設(shè)A點(diǎn)坐標(biāo)為（-4，b），根據(jù)梯形的面積公式得到

1

2

（2+b）•4=11，解得b=

7

2

，則A點(diǎn)坐標(biāo)為（-4，

7

2

）；
（2）作CH⊥AB于H，如圖1，證明Rt△OCD∽R(shí)t△HCA，理由相似比即可得到

CD

AC

=

OC

CH

=

2

4

=

1

2

；
（3）如圖2，連結(jié)EC，根據(jù)角平分線的定義得∠1=∠2，∠3=∠4，由DE⊥DC得到∠EDC=90°，則∠BDE+∠CDO=90°，利用等角的余角相等得到∠BED=∠CDO，可判斷②錯(cuò)誤；得到∠1+∠2+∠3+∠4=90°，所以∠3+∠2=45°，在△MEC中，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得到∠M+∠3+∠2+∠DEC+∠DCE=180°，于是可計(jì)算出∠M=45°．

解答：解：（1）∵C（0，2），OB-OC=2，
∵OB=2+OC=2+2=4，
∴B點(diǎn)坐標(biāo)為（-4，0），
設(shè)A點(diǎn)坐標(biāo)為（-4，b），
∴

1

2

（2+b）•4=11，解得b=

7

2

，
∴A點(diǎn)坐標(biāo)為（-4，

7

2

）；
（2）CD=

1

2

AC．理由如下：
作CH⊥AB于H，如圖1，
∴∠CDO=∠A，
∴Rt△OCD∽R(shí)t△HCA，
∴

CD

AC

=

OC

CH

=

2

4

，
即CD=

1

2

AC；
（3）結(jié)論①正確．理由如下：
如圖2，連結(jié)EC，
∵∠BED和∠DCO的平分線交于M，
∴∠1=∠2，∠3=∠4，
∵DE⊥DC，
∴∠EDC=90°，
∴∠BDE+∠CDO=90°，
∴∠BED=∠CDO，所以②錯(cuò)誤；
∴∠1+∠2+∠3+∠4=90°，
∴∠3+∠2=45°，
在△MEC中，∠M+∠3+∠2+∠DEC+∠DCE=180°，
∴∠M=180°-90°-45°=45°，
即∠M的大小不變．

點(diǎn)評：本題考查了坐標(biāo)與圖形性質(zhì)：利用點(diǎn)的坐標(biāo)求線段的長和判斷線段與坐標(biāo)軸的位置關(guān)系．也考查了相似的判定與性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理．