Question

已知m，n是方程ax²+bx+c=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，設(shè)s₁=m+n，s₂=m²+n²，s₃=m³+n³，…，s₁₀₀=m¹⁰⁰+n¹⁰⁰，…，則as₂₀₁₁+bs₂₀₁₀+cs₂₀₀₉的值為（　　）

• A、0
• B、1
• C、-1
• D、2011

Answer 1

考點(diǎn)：根與系數(shù)的關(guān)系

專題：計(jì)算題

分析：根據(jù)題意得s₂₀₁₁=m²⁰¹¹+n²⁰¹¹，s₂₀₁₀=m²⁰¹⁰+n²⁰¹⁰，s₂₀₀₉=m²⁰⁰⁹+n²⁰⁰⁹，根據(jù)冪的運(yùn)算得到as₂₀₁₁+bs₂₀₁₀+cs₂₀₀₉=m²⁰⁰⁹（am²+bm+c）+n²⁰⁰⁹（an²+bn+c），再根據(jù)方程解得定義得到am²+bm+c=0，an²+bn+c=0，所以as₂₀₁₁+bs₂₀₁₀+cs₂₀₀₉=0．

解答：解：∵s₂₀₁₁=m²⁰¹¹+n²⁰¹¹，s₂₀₁₀=m²⁰¹⁰+n²⁰¹⁰，s₂₀₀₉=m²⁰⁰⁹+n²⁰⁰⁹，
∴as₂₀₁₁+bs₂₀₁₀+cs₂₀₀₉=a（m²⁰¹¹+n²⁰¹¹）+b（m²⁰¹⁰+n²⁰¹⁰）+c（m²⁰⁰⁹+n²⁰⁰⁹）
=m²⁰⁰⁹（am²+bm+c）+n²⁰⁰⁹（an²+bn+c），
∵m，n是方程ax²+bx+c=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，
∴am²+bm+c=0，an²+bn+c=0，
∴as₂₀₁₁+bs₂₀₁₀+cs₂₀₀₉=m²⁰⁰⁹×0+n²⁰⁰⁹×0=0．
故選A．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系：若x₁，x₂是一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的兩根時(shí)，x₁+x₂=-

b

a

，x₁x₂=

c

a

．也考查了冪的運(yùn)算和一元二次方程的解的定義．