Question

19．意大利著名數(shù)學(xué)家婓波那契在研究兔子繁殖問題時(shí)，發(fā)現(xiàn)有這樣一組數(shù)：1，1，2，3，5，8，13，…，其中從第三個(gè)數(shù)起，每一個(gè)數(shù)都等于它前面兩個(gè)數(shù)的和．為了紀(jì)念這個(gè)著名的發(fā)現(xiàn)，人們將這組數(shù)命名為婓波那契數(shù)列．
（1）這個(gè)數(shù)列的前2014個(gè)數(shù)中，有多少個(gè)奇數(shù)？
（2）現(xiàn)以這組數(shù)中的各個(gè)數(shù)作為正方形的邊長(zhǎng)構(gòu)造如下正方形系列：
再分別依次從左到右取2個(gè)，3個(gè)，4個(gè)，5個(gè)，…正方形拼成如下長(zhǎng)方形并記為①、②、③、④、⑤…
（i）通過計(jì)算相應(yīng)長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)填寫表（不計(jì)拼出的長(zhǎng)方形內(nèi)部的線段）：

序號(hào)	①	②	③	④	…
周長(zhǎng)	6	10	16	26	…

（ii）若按此規(guī)律繼續(xù)拼成長(zhǎng)方形，求序號(hào)為⑩的長(zhǎng)方形周長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）分析婓波那契數(shù)列，可以發(fā)現(xiàn)每三項(xiàng)都是前兩個(gè)為奇第三個(gè)為偶，結(jié)合2014是3的多少倍余幾，即可得出結(jié)論；
（2）根據(jù)圖形特性，可以找出周長(zhǎng)為最大的正方形的周長(zhǎng)+小一號(hào)的正方形的兩條邊，代入數(shù)據(jù)即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）這組數(shù)列為：1，1，2，3，5，8…，以3個(gè)一組，結(jié)合題意可知，每組第三個(gè)數(shù)為偶數(shù)，其它兩個(gè)均為奇數(shù)，
∵2014÷3=671…1，
∴奇數(shù)個(gè)數(shù)為671×2+1=1342+1=1343個(gè)．
（2）觀察各組合圖形可知，其周長(zhǎng)為最大的正方形的周長(zhǎng)+小一號(hào)的正方形的兩條邊．
（i）③中最大正方形邊長(zhǎng)為3，再小一點(diǎn)的正方形邊長(zhǎng)為2，
周長(zhǎng)=3×4+2×2=12+4=16；
④中最大正方形邊長(zhǎng)為5，再小一點(diǎn)的正方形邊長(zhǎng)為3，
周長(zhǎng)=5×4+3×2=20+6=26．
故答案為：16；26．
（ii）婓波那契數(shù)列1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，…
⑩中最大正方形邊長(zhǎng)為144，再小一點(diǎn)的正方形邊長(zhǎng)為89，
周長(zhǎng)=144×4+89×2=576+178=754．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了圖形的變化，解題的關(guān)鍵是：（1）把數(shù)列分成每3個(gè)一部分，即可找到2奇1偶的特點(diǎn)；（2）觀察圖形，利用整體替換，即能找到周長(zhǎng)的規(guī)律．