Question

如圖，Rt△ABC≌Rt△FDE，AB=8cm，BC=6cm，將△ABC沿射線DE的方向以2cm/秒的速度平移，在平移過程中，是否存在某個時刻t，使△AEF成為等腰三角形，若存在，請求出t值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：首先由全等三角形的性質，得出∠ABC=∠FDE=90°，再結合勾股定理得出AC=EF=10．假設△ABC沿射線DE的方向平移，在平移過程中，存在某個時刻t，使△AEF成為等腰三角形，則分三種情況分別討論：（1）以AE為底；（2）以EF為底；（3）以AF為底．

解答：解：∵Rt△ABC≌Rt△FDE，
∴∠ABC=∠FDE=90°，AC=EF，
又∵AB=8cm，BC=6cm，
∴AC=EF=10．
假設△ABC沿射線DE的方向平移，在平移過程中，存在某個時刻t，使△AEF成為等腰三角形，則BD=2t．
分三種情況：
（1）以AE為底，則有AF=FE，即AD=DE，可列方程：8-2t=6，解得t=1；
（2）以EF為底，則有AE=AF．
∵AE²=（14-2t）²，由勾股定理可得AF²=（8-2t）²+8²，
∴（14-2t）²=（8-2t）²+8²，解得t=

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；
（3）以AF為底，則有AE=EF，
若B在線段DE上（如圖1），可列方程：14-2t=10，解得t=2；

若B在線段DE的延長線上（如圖2），

可列方程2t-14=10，解得t=12．
綜上所述，存在當t=1S，2S，

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S，12S時，△AEF是等腰三角形．

點評：本題考查了全等三角形的性質，等腰三角形的判定，勾股定理及平移的性質，綜合性較強，有一定難度，進行分類討論是解題的關鍵．