Question

7．如圖，在△ABC中，AB=AC，延長AB到D，使BD=AB，E為AB的中點，連結(jié)CE、CD，求證：
（1）∠ECB=∠DCB；
（2）CD=2EC．

Answer 1

分析 （1）取AC的中點F，連接BF，根據(jù)SAS證明△BCE≌△CBF，得出∠ECB=∠FBC，EC=BF，再證明BF是△ACD的中位線，由三角形中位線定理得出BF∥CD，BF=$\frac{1}{2}$CD，由平行線的性質(zhì)得出∠FBC=∠DCB，即可得出結(jié)論；
（2）由（1）得：EC=BF，BF=$\frac{1}{2}$CD，即可得出結(jié)論．

解答 證明：（1）取AC的中點F，連接BF，
∵AB=AC，點E，F(xiàn)分別是AB，AC的中點，
∴∠ABC=∠ACB，BE=CF，
在△BCE和△CBF中，$\left\{\begin{array}{l}{BE=CF}&{\;}\\{∠ABC=∠ACB}&{\;}\\{BC=CB}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△BCE≌△CBF（SAS），
∴∠ECB=∠FBC，EC=BF，
∵BD=AB，F(xiàn)是AC的中點，
∴BF是△ACD的中位線，
∴BF∥CD，BF=$\frac{1}{2}$CD，
∴∠FBC=∠DCB，
∴∠ECB=∠DCB；
（2）由（1）得：EC=BF，BF=$\frac{1}{2}$CD，
∴CD=2EC．

點評 本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、三角形中位線定理、平行線的性質(zhì)；熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)，證明三角形全等是解決問題的關(guān)鍵．