Question

如圖，⊙O的半徑為1，等腰Rt△ABC的頂點(diǎn)B的坐標(biāo)為（，0），CAB=90°，AC=AB，頂點(diǎn)A在⊙O上運(yùn)動．

（1）當(dāng)點(diǎn)A在x軸上時(shí)，求點(diǎn)C的坐標(biāo)；

（2）當(dāng)點(diǎn)A運(yùn)動到x軸的負(fù)半軸上時(shí)，試判斷直線BC與⊙O位置關(guān)系，并說明理由；

（3）設(shè)點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為x，△ABC的面積為S，求S與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并求出S的最大值與最小值；

（4）當(dāng)直線AB與⊙O相切時(shí)，求AB所在直線對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式．

 

備用圖                 備用圖

Answer 1

 解：（1）

當(dāng)點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，0）時(shí)，AB=AC=－1，點(diǎn)C的坐標(biāo)為（1，－1）；

當(dāng)點(diǎn)A的坐標(biāo)為（－1，0）時(shí)，AB=AC=＋1，點(diǎn)C的坐標(biāo)為（－1，＋1）；

（2）直線BC與⊙O相切，過點(diǎn)O作OM⊥BC于點(diǎn)M，∴∠OBM＝∠BOM=45°,

∴OM=OB·sin45°=1，∴直線BC與⊙O相切

（3）過點(diǎn)A作AE⊥OB于點(diǎn)E

在Rt△OAE中，AE²=OA²－OE²=1－x²，

在Rt△BAE中，AB²=AE²+BE²=(1-x²) +（-x）²=3-2x

∴S=AB·AC= AB²=(3-2x)=

其中－1≤x≤1，

當(dāng)x=－1時(shí)，S的最大值為，

當(dāng)x=1時(shí)，S的最小值為．

（4）①當(dāng)點(diǎn)A位于第一象限時(shí)(如右圖)：

連接OA，并過點(diǎn)A作AE⊥OB于點(diǎn)E

∵直線AB與⊙O相切，∴∠OAB=90°，

又∵∠CAB=90°，∴∠CAB

+∠OAB=180°，

∴點(diǎn)O、A、C在同一條直線上，∴∠AOB=∠C=45°，0

在Rt△OAE中，OE=AE=．點(diǎn)A的坐標(biāo)為（，）

過A、B兩點(diǎn)的直線為y=－x+．

②當(dāng)點(diǎn)A位于第四象限時(shí)(如右圖)

點(diǎn)A的坐標(biāo)為（，－），過A、B兩點(diǎn)的直線為y=x－．