Question

在平面直角坐標系中，點O為坐標原點，A、B、C三點的坐標分別為A（2，0），B（4，0），C（0，5），點D在第一象限內，且∠ADB=45°．線段CD的長的最小值為　

Answer 1

5﹣　．

【考點】點與圓的位置關系；等腰直角三角形；圓周角定理．

【分析】設圓心為P，連結PA、PB、PC，PE⊥AB于E，求出半徑和PC的長度，判出點D只有在CP上時CD最短，CD=CP﹣DP求解即可．

【解答】解：如圖，設圓心為P，連結PA、PB、PC，PE⊥AB于E，

∵A（2，0）、B（4，0），

∴E（3，0）

又∠ADB=45°，

∴∠APB=90°（圓心角所對的角等于圓周角的二倍），

∴PE=1，PA=PE=，

∴P（3，），

∵C（0，5），

∴PC==5，

又∵PD=PA=，

∴只有點D在線段PC上時，CD最短（點D在別的位置時構成△CDP）

∴CD最小值為：5﹣．

故答案為：5﹣2．

【點評】本題主要考查坐標與圖形的性質，圓周角定理及勾股定理，解決本題的關鍵是判出點D只有在CP上時CD最短．