Question

【題目】【本小題滿分11分】如圖，已知拋物線的頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為（1，），且與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于C點(diǎn)，A點(diǎn)的坐標(biāo)為（4，0）．P點(diǎn)是拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且橫坐標(biāo)為m．

（l）求拋物線所對應(yīng)的二次函數(shù)的表達(dá)式；

（2）若動(dòng)點(diǎn)P滿足∠PAO不大于45°，求P點(diǎn)的橫坐標(biāo)m的取值范圍；

（3）當(dāng)P點(diǎn)的橫坐標(biāo)時(shí)，過p點(diǎn)作y軸的垂線PQ，垂足為Q．問：是否存在P點(diǎn)，使∠QPO=∠BCO？若存在，請求出P點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）﹣4≤m≤0；（3）P（，）或P（，）．

【解析】

試題（1）根據(jù)函數(shù)值相等的點(diǎn)關(guān)于對稱軸對稱，可得B點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)待定系數(shù)法，可得函數(shù)解析式；

（2）根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)，可得射線AC、AD，根據(jù)角越小角的對邊越小，可得PA在在射線AC與AD之間，根據(jù)解方程組，可得E點(diǎn)的橫坐標(biāo)，根據(jù)E、C點(diǎn)的橫坐標(biāo)，可得答案；

（3）分兩種情況，P在第二象限和P在第三象限討論．

試題解析：（1）由A、B點(diǎn)的函數(shù)值相等，得：A、B關(guān)于對稱軸對稱．A（4，0），對稱軸是x=1，得：B（﹣2，0）．將A、B、D點(diǎn)的坐標(biāo)代入解析式，得：，解得：，拋物線所對應(yīng)的二次函數(shù)的表達(dá)式；

（2）如圖1作C點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)D，OC=OD=OA=4，∠OAC=∠DAO=45°，AP在射線AC與AD之間，∠PAO＜45°，直線AD的解析式為，聯(lián)立AD于拋物線，得：，解得x=﹣4或x=4，∵E點(diǎn)的橫坐標(biāo)是﹣4，C點(diǎn)的橫坐標(biāo)是0，P點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍是﹣4≤m≤0；

（3）存在P點(diǎn)，使∠QPO=∠BCO，①若點(diǎn)P在第二象限，如圖2，設(shè)P（a，），由∠QPO=∠BCO，∠PQO=CBO=90°，∴△PQO∽△COB，∴，即=，化簡，得，解得或（不符合題意，舍），∴=，∴P點(diǎn)坐標(biāo)為（，）；

②若點(diǎn)P在第三象限，如圖3，由△PQO∽△COB，∴PQ：CO=OQ：OB，∵B(－2，0)，C（0，－4），∴PQ=2QO，∴點(diǎn)P坐標(biāo)為（m，），代入，得：，解得：，∵，∴，∴=，∴P的坐標(biāo)為（，）；

∴滿足條件的點(diǎn)為P（，）或P（，）．