Question

如圖，已知直線y=-

3

x+2

3

交x軸于點(diǎn)A，交y軸于點(diǎn)B，過B點(diǎn)的直線y=x+n交x軸于點(diǎn)C．
（1）求C點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）若將△OBC沿y軸翻折，C點(diǎn)落在x軸上的D點(diǎn)，過D作DE⊥BA垂足為E，過C作CF⊥BA垂足為F，交BO于G，試說明AE與FG的數(shù)量關(guān)系；
（3）以A點(diǎn)為圓心，以AB為半徑作⊙A交x軸負(fù)半軸于點(diǎn)H，交x軸正半軸于點(diǎn)P，BA的延長線交⊙A于M，在

PM

上存在任一點(diǎn)Q，連接MQ并延長交x軸于點(diǎn)N，連接HQ交BM于S，現(xiàn)有兩個結(jié)論 ①AN+AS的值不變； ②AN-AS的值不變，其中只有一個正確，請選擇正確的結(jié)論進(jìn)行證明，并求其值．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)直線交點(diǎn)求出B點(diǎn)坐標(biāo)，再利用y=x+n求出C點(diǎn)坐標(biāo)．
（2）先證明△BDE≌△CBF，得出DE=BF，再由△ADE相似于△GBF，得出△ADE≌△GBF，從而知道AE=FG．
（3）連接MP，證明△HAS≌△MPN即可．

解答：解：（1）∵直線y=-

3

x+2

3

交x軸于點(diǎn)A，交y軸于點(diǎn)B
令x=0，得y=2

3

令y=0，得x=2
故A（2，0）、B（0，2

3

）；
又過B點(diǎn)的直線y=x+n交x軸于點(diǎn)C，
將B點(diǎn)坐標(biāo)代入直線y=x+n，得n=2

3

，
所以BC所在的直線方程為y=x+2

3

，
令y=0，得x=-2

3

，
故C點(diǎn)的坐標(biāo)為C(-2

3

，0)．

（2）AE=FG
由題意知：BC=BD，∠BFC=∠BED=90°，∠BCF=∠DBE
∴△BDE≌△CBF
∴DE=BF
又∠DFA=∠BFG=90°，∠GBF=∠ADE
∴△ADE≌△GBF
∴AE=FG．

（3）正確的結(jié)論②AN-AS=4．
連接MP
∵A（2，0）、B（0，2

3

）
∴∠BAO=60°，圓的半徑為4
所以∠PAM=60°
因此△MAP為等邊三角形．
∵∠PMN=∠AHS，MP=AH，∠HAS=∠MPN=120°
∴△HAS≌△MPN
所以AS=PN
所以AN-AS=AN-PN=AP=4．
即②正確，值不變，為4．

點(diǎn)評：本題主要考查了圓形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)以及一次函數(shù)的綜合應(yīng)用，關(guān)鍵的是對三角形全等的證明．