【題目】如圖,AB是⊙O的直徑,弧CD⊥AB,垂足為H,P為弧AD上一點(diǎn),連接PA、PB,PB交CD于E.
(1)如圖(1)連接PC、CB,求證:∠BCP=∠PED;
(2)如圖(2)過點(diǎn)P作⊙O的切線交CD的延長線于點(diǎn)E,過點(diǎn)A向PF引垂線,垂足為G,求證:∠APG=∠F;
(3)如圖(3)在圖(2)的條件下,連接PH,若PH=PF,3PF=5PG,BE=2,求⊙O的直徑AB.
【答案】(1)見解析;(2)見解析;(3)AB=15
【解析】
(1)由垂徑定理得出∠CPB=∠BCD,根據(jù)∠BCP=∠BCD+∠PCD=∠CPB+∠PCD=∠PED即可得證;
(2)連接OP,知OP=OB,先證∠FPE=∠FEP得∠F+2∠FPE=180°,再由∠APG+∠FPE=90得2∠APG+2∠FPE=180°,據(jù)此可得2∠APG=∠F,據(jù)此即可得證;
(3)連接AE,取AE中點(diǎn)N,連接HN、PN,過點(diǎn)E作EM⊥PF,先證∠PAE=∠F,由tan∠PAE=tan∠F得,再證∠GAP=∠MPE,由sin∠GAP=sin∠MPE得,從而得出,即MF=GP,由3PF=5PG即,可設(shè)PG=3k,得PF=5k、MF=PG=3k、PM=2k,由∠FPE=∠PEF知PF=EF=5k、EM=4k及PE=2k、AP=k,證∠PEM=∠ABP得BP=3k,繼而可得BE=k=2,據(jù)此求得k=2,從而得出AP、BP的長,利用勾股定理可得答案.
證明:(1)∵AB是⊙O的直徑且AB⊥CD,
∴∠CPB=∠BCD,
∴∠BCP=∠BCD+∠PCD=∠CPB+∠PCD=∠PED,
∴∠BCP=∠PED;
(2)連接OP,則OP=OB,
∴∠OPB=∠OBP,
∵PF是⊙O的切線,
∴OP⊥PF,則∠OPF=90°,
∠FPE=90°﹣∠OPE,
∵∠PEF=∠HEB=90°﹣∠OBP,
∴∠FPE=∠FEP,
∵AB是⊙O的直徑,
∴∠APB=90°,
∴∠APG+∠FPE=90°,
∴2∠APG+2∠FPE=180°,
∵∠F+∠FPE+∠PEF=180°,
∵∠F+2∠FPE=180°
∴2∠APG=∠F,
∴∠APG= ∠F;
(3)連接AE,取AE中點(diǎn)N,連接HN、PN,過點(diǎn)E作EM⊥PF于M,
由(2)知∠APB=∠AHE=90°,
∵AN=EN,
∴A、H、E、P四點(diǎn)共圓,
∴∠PAE=∠PHF,
∵PH=PF,
∴∠PHF=∠F,
∴∠PAE=∠F,
tan∠PAE=tan∠F,
∴,
由(2)知∠APB=∠G=∠PME=90°,
∴∠GAP=∠MPE,
∴sin∠GAP=sin∠MPE,
則,
∴,
∴MF=GP,
∵3PF=5PG,
∴,
設(shè)PG=3k,則PF=5k,MF=PG=3k,PM=2k
由(2)知∠FPE=∠PEF,
∴PF=EF=5k,
則EM=4k,
∴tan∠PEM=,tan∠F=,
∴tan∠PAE=,
∵PE=,
∴AP=k,
∵∠APG+∠EPM=∠EPM+∠PEM=90°,
∴∠APG=∠PEM,
∵∠APG+∠OPA=∠ABP+∠BAP=90°,且∠OAP=∠OPA,
∴∠APG=∠ABP,
∴∠PEM=∠ABP,
則tan∠ABP=tan∠PEM,即,
∴,
則BP=3k,
∴BE=k=2,
則k=2,
∴AP=3、BP=6,
根據(jù)勾股定理得,AB=15.
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【題目】如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°,以△ABC的一邊為邊畫等腰三角形,使得它的第三個頂點(diǎn)在△ABC的其他邊上,則可以畫出的不同的等腰三角形的個數(shù)最多為_____.
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【題目】10月13日上午,2019“鄭州銀行杯”鄭州國際馬拉松賽在鄭東新區(qū)CBD如意湖畔鳴槍開賽.今年的比賽共設(shè)置全程、半程馬拉松和健康跑、家庭跑四個大項(xiàng),吸引了來自全球32個國家和地區(qū)的2.6萬名選手參加比賽在男子半程比賽中,中國選手劉洪亮起跑后,一直保持勻速前進(jìn),沖刺階段突然加速,以1小時09分21秒的成績獲得男子半程冠軍.下列能夠反映劉洪亮在比賽途中速度v與時間t之間的函數(shù)關(guān)系的大致圖象是( )
A.B.
C.D.
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【題目】一輛客車從甲地開往乙地,一輛出租車從乙地開往甲地,兩車同時出發(fā),它們離甲地的路程y(km)與客車行駛時間x(h)間的函數(shù)關(guān)系如圖,下列信息:
(1)出租車的速度為100千米/時;
(2)客車的速度為60千米/時;
(3)兩車相遇時,客車行駛了3.75小時;
(4)相遇時,出租車離甲地的路程為225千米.
其中正確的個數(shù)有( 。
A. 1個 B. 2個 C. 3個 D. 4個
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【題目】如圖所示在三角形△ABC中AB=AC,AD是△ABC的角平分線,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分別為E、F,則下列四個結(jié)論中,①AB上一點(diǎn)與AC上一點(diǎn)到D的距離相等;②AD上任意一點(diǎn)到AB、AC的距離相等;③∠BDE=∠CDF;④BD=CD,AD⊥BC.其中正確的個數(shù)是
A.1個B.2個C.3個D.4個
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【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,已知△ABC的三個頂點(diǎn)坐標(biāo)分別是A(1,1),B(4,1),C(3,3).
(1)將△ABC向下平移5個單位后得到△A1B1C1,請畫出△A1B1C1;
(2)將△ABC繞原點(diǎn)O逆時針旋轉(zhuǎn)90°后得到△A2B2C2,請畫出△A2B2C2;
(3)判斷以O,A1,B為頂點(diǎn)的三角形的形狀.(無須說明理由)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,四邊形ABCD中,對角線AC、BD相交于點(diǎn)O,AO=CO,BO=DO,且∠ABC+∠ADC=180°
(1) 求證:四邊形ABCD是矩形
(2) 若DE⊥AC交BC于E,∠ADB∶∠CDB=2∶3,則∠BDE的度數(shù)是多少?
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【題目】在△ABC中,∠BAC=45°,CD⊥AB,垂足為點(diǎn)D,M為線段DB上一動點(diǎn)(不包括端點(diǎn)),點(diǎn)N在直線AC左上方且∠NCM=135°,CN=CM,如圖①.
(1)求證:∠ACN=∠AMC;
(2)記△ANC得面積為5,記△ABC得面積為5.求證:;
(3)延長線段AB到點(diǎn)P,使BP=BM,如圖②.探究線段AC與線段DB滿足什么數(shù)量關(guān)系時對于滿足條件的任意點(diǎn)M,AN=CP始終成立?(寫出探究過程)
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