Question

如圖，AB為⊙O的直徑，P為AB延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，PC切⊙O于C，tan∠P=

3

4

，則sin∠A=（　�。�

• A、

  3

  5

• B、

  2

  5

• C、

  5

  5

• D、

  5

  10

Answer 1

分析：作輔助線BE⊥CP，交點(diǎn)為E．根據(jù)PC切⊙O于C，可求得tan∠P=

3

4

=

OC

CP

．
設(shè)OC=3k，CP=4k，則OP=5k，利用

BE

OC

=

BP

OP

=

EP

CP

，可求得BE=

6

5

k，EP=

8

5

k，從而得CE=

12

5

k．
在直角三角形ABC中，求出BC的值就可求出sin∠A．

解答：解：作輔助線BE⊥CP，交點(diǎn)為E，
∵PC切⊙O于C，tan∠P=

3

4

=

OC

CP

，
設(shè)OC=3k，CP=4k，則OP=5k．
∵OB=OC=3k，BP=2k，
∴

BE

OC

=

BP

OP

=

EP

CP

．
∴BE=

6

5

k，EP=

8

5

k，
∴CE=

12

5

k，BC=

6 5

5

．
∴sin∠A=

BC

AB

=

6 5 5

6

=

5

5

．
故選C．

點(diǎn)評(píng)：此題的關(guān)鍵是要把∠A放到一個(gè)直角三角形中，在直角三角形ABC中，求出BC的值就可求出sin∠A．
所以又要把BC放到一個(gè)直角三角形中，這就要添加輔助線BE⊥CP，交點(diǎn)為E，這是本題的關(guān)鍵．