Question

【題目】如圖,中,,,AD平分交OB于D,交AB于E,垂足為F.

(1)求證:;

(2)若,求的值.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）AD-OE= 2.

【解析】

（1）由題意可證△EAF≌△OAF，連接DE，可證AD為EO的垂直平分線，則ED=DO，又可證△BED為等腰直角三角形，則可證得BE=OD；

（2）在AD上截AM=OE，可證得△AMO≌△OEB，可得OD=OM，又因為AD⊥EO，則可得MF=FD，則可得AD-OE=2DF=2.

（1）證明：連接DE，

∵OE⊥AD，

∴∠AFE=∠AFO=90°，

∵AD平分∠EAO，

∴∠EAF=∠OAF，

在△EAF和△OAF中

，

∴△EAF≌△OAF（ASA），

∴AE=AO，∠AEO=∠AOE，

∵AD⊥OE，

∴EF=FO，

∴DE=DO，

∴∠DEO=∠DOE，

∵∠AEO=∠AOE，

∴∠AED=∠AOB=90°，

∵∠AOB=90°，AO=BO，

∴∠B=45°，

∴∠EDB=∠AEO-∠B=90°-45°=45°=∠B，

∴BE=DE，

∴OD=BE；

（2）解：在AD上截AM=OE，連接OM，

∵∠OAB=∠B=45°，AD平分∠OAB，

∴∠OAM=22.5°，

∵OD=DE，

∴∠DEO=∠DOE，

∵∠EDB=45°=∠DEO+∠DOE，

∴∠EOB=22.5°=∠OAM，

在△AMO和△OEB中，

，

∴△AMO≌△OEB（SAS），

∴MO=BE=OD，

∵OE⊥AD，

∴DF=MF，

∴AD-OE=DM=2DF=2.