Question

如圖，四邊形ABCD是矩形，AB=3，BC=4．點(diǎn)P從A出發(fā)在線段AD上以1個單位/秒向點(diǎn)D運(yùn)動，點(diǎn)Q同時從點(diǎn)C出發(fā)，以1個單位/秒的速度向點(diǎn)A運(yùn)動，當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)D時，點(diǎn)Q也隨之停止運(yùn)動．
（1）設(shè)△APQ的面積為S，點(diǎn)P的運(yùn)行時間為t，求S與t的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量t的取值范圍．
（2）S的最大值是多少？
（3）當(dāng)t為何值時，△APQ是等腰三角形？

Answer 1

【答案】分析：（1）利用sin∠ACB=，得出sin∠PAQ=，即可得出QM=AQsin∠PAQ=（5-t），進(jìn)而表示出△APQ的面積為S；
（2）利用二次函數(shù)最值求法運(yùn)用配方法求出，得出最值；
（3）根據(jù)當(dāng)AP=AQ時和當(dāng)PA=PQ時當(dāng)QA=QP時，分別得出t的值．
解答：解：（1）在△ABC中，∵AB=3，BC=4，∠ABC=90°，
根據(jù)勾股定理得AC=5，
∴sin∠ACB=，
∴sin∠PAQ=，
過點(diǎn)Q作QM⊥AD于點(diǎn)M，
在Rt△AQM中，
∵AQ=5-t，
∴QM=AQsin∠PAQ=（5-t），
∴S=×t×（5-t），
即S=-t²+t（0＜t≤4），

（2）S=-（t²-5t+）+=-（t-）²+，
當(dāng)t=時，△APQ的面積S取得最大值，為，

（3）△APQ是等腰三角形，
①當(dāng)AP=AQ時，
t=5-t，
則t=，
②當(dāng)PA=PQ時，作PE⊥AQ于E
∵cos∠OAQ=，則AE=t，
∴AQ=t，
∴t+t=5，
∴t=，
③當(dāng)QA=QP時，作QF⊥AD于點(diǎn)F，
∴AF=（5-t），
∴（5-t）=t，
∴t=，
綜上所述，當(dāng)t=或t=或t=時，
△APQ是等腰三角形．
點(diǎn)評：此題主要考查了二次函數(shù)的最值問題以及等腰三角形的性質(zhì)和銳角三角函數(shù)的定義等知識，等腰三角形的性質(zhì)以及二次函數(shù)最值問題是中考中重點(diǎn)內(nèi)容同學(xué)們應(yīng)熟練掌握并應(yīng)用．