Question

17．如圖，已知直線l₁∥l₂，線段AB在直線l₁上，BC垂直于l₁交l₂于點(diǎn)C，且AB=BC，P是線段BC上異于兩端點(diǎn)的一點(diǎn)，過點(diǎn)P的直線分別交l₂，l₁于點(diǎn)D，E（點(diǎn)A，E位于點(diǎn)B的兩側(cè)），滿足BP=BE，連接AP，CE．
（1）求證：△ABP≌△CBE；
（2）連接BD，BD與AP相交于點(diǎn)F．當(dāng)$\frac{BC}{BP}$=2時(shí)，求證：AP⊥BD；
（3）在（2）的條件下，延長AP交CE于點(diǎn)G，連接BG，求∠AGB的度數(shù)．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)SAS即可判定△ABP≌△CBE．
（2）先證明△ABP≌△CBD得∠PAB=∠DBC，由∠PAB+∠APB=90°得到∠DBC+∠APB=90，即∠PFB=90得證．
（3）只要證明△FBG是等腰直角三角形即可．

解答 （1）證明：如圖1中，∵BC⊥l₁，
∴∠ABP=∠CBE=90°，
在△ABP和△CBE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=BC}\\{∠ABP=∠CBE}\\{PB=BE}\end{array}\right.$，
∴△ABP≌△CBE．
（2）如圖2中，∵BC=2PB，
∴PC=PB=BE，
∵∠PBE=90°，
∴∠PEB=∠BPE=∠CPD=45°，
∵AB∥CD，
∴∠ABP+∠DCB=180°，
∴∠DCP=90°，∠CDP=45°，
∴DC=PC=PB，
在△ABP和△CBD中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=BC}\\{∠ABP=∠DCB}\\{PB=CD}\end{array}\right.$，
∴△ABP≌△CBD，
∴∠PAB=∠DBC，
∵∠PAB+∠APB=90°，
∴∠DBC+∠APB=90°，
∴∠PFB=90°，
∴AP⊥BD，
（3）如圖3中，在RT△PFB和RT△BDC中，
∵tan∠DBC=$\frac{DC}{BC}=\frac{PF}{BF}$=2，
∴BF=2PF，
∵CD=BE，DC∥BE，
∴四邊形CDBE是平行四邊形，
∴BD∥CE，
∴∠BFP=∠CGP，
在△PBF和△PCG中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BPF=∠CPG}\\{∠BFP=∠CGP}\\{PB=PC}\end{array}\right.$，
∴△PBF≌△PCG，
∴PF=PG，F(xiàn)G=2PF，
∴FG=BF，
∴∠AGB=∠FBG=45°．

點(diǎn)評 本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)、平行四邊形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，尋找三角形全等是解題的關(guān)鍵，屬于中考�？碱}型．