Question

如圖，將一張矩形紙片ABCD沿直線MN折疊，使點C落在點A處，點D落在點E處，直線MN交BC于點M，交AD于點N．
（1）求證：CM=CN；
（2）若△CMN的面積與△CDN的面積比為3：1，且CD=4，求線段MN的長．

Answer 1

考點：翻折變換（折疊問題）

專題：

分析：（1）由折疊的性質(zhì)可得：∠ANM=∠CNM，由四邊形ABCD是矩形，可得∠ANM=∠CMN，則可證得∠CMN=∠CNM，繼而可得CM=CN；
（2）首先過點N作NH⊥BC于點H，由△CMN的面積與△CDN的面積比為3：1，易得MC=3ND=3HC，然后設(shè)DN=x，在Rt△CDN中，由勾股定理，求得CD=2

2

x，則x=

2

，然后在Rt△MNH中，由勾股定理即可求得MN的長．

解答：（1）證明：由折疊的性質(zhì)可得：∠ANM=∠CNM．
∵四邊形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠ANM=∠CMN，
∴∠CMN=∠CNM，
∴CM=CN；

（2）解：過點N作NH⊥BC于點H，則四邊形NHCD是矩形．
∴HC=DN，NH=DC．
∵△CMN的面積與△CDN的面積比為3：1，
∴MC=3ND=3HC．
∴MH=2HC．
設(shè)DN=x，則HC=x，MH=2x，
∴CM=3x=CN，
在Rt△CDN中，CD=

(3x)2-x2

=2

2

x=4，
∴x=

2

．
∴MH=2

2

．
在Rt△MNH中，MN=

MH2+NH2

=

8+16

=2

6

．

點評：此題考查了矩形的性質(zhì)、折疊的性質(zhì)、勾股定理以及三角形的面積．此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，掌握數(shù)形結(jié)合思想與方程思想的應(yīng)用．