Question

（1）已知：如圖，在Rt△ABC和Rt△BAD中，AB為斜邊，AC=BD，BC，AD相交于點E．求證：AE=BE；

（2）已知：如圖，⊙O₁與坐標軸交于A（1，0）、B（5，0）兩點，點O₁的縱坐標為

5

．求⊙O₁的半徑．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)已知條件，可以判定Rt△ACE≌Rt△BDE，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)，AE=BE．
（2）已知A、B兩點的坐標，可知弦AB的長等于4，點O₁的縱坐標為弦的弦心距的長，根據(jù)勾股定理和垂徑定理可以求出⊙O₁的半徑．

解答：（1）證明：在Rt△ACE和Rt△BDE中，
∵∠AEC與∠BED是對頂角，
∴∠AEC=∠BED，
在△RTACE≌Rt△BDE中，

∠C=∠D ∠AEC=∠BED AC=BD

∴Rt△ACE≌Rt△BDE，
∴AE=BE．

（2）解：過點O₁作O₁C⊥AB，垂足為C，
則有AC=BC，
由A（1，0）、B（5，0），得AB=4，
∴AC=2，
在Rt△AO₁C中，
∵O₁的縱坐標為

5

，
∴O₁C=

5

．
∴⊙O₁的半徑O₁A=

O1C2+AC2

=

( 5 )2+22

=3．

點評：（1）一般情況下，證明線段相等時，可以通過證全等三角形證得．
（2）解決與弦有關(guān)的問題時，往往需構(gòu)造以半徑、弦心距和弦長的一半為三邊的直角三角形，若設(shè)圓的半徑為r，弦長為a，這條弦的弦心距為d，則有等式r²=d²+（

a

2

）²成立，知道這三個量中的任意兩個，就可以求出另外一個．