Question

如圖，在△ABC中，點(diǎn)A在x軸負(fù)半軸上，點(diǎn)B在x軸正半軸上，AB=6，點(diǎn)C在y軸負(fù)半軸上，且OC=5，拋物線y=a（x-2）²+k經(jīng)過△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)．
（1）求拋物線解析式的一般式；
（2）設(shè)橫坐標(biāo)為t的點(diǎn)P為拋物線上位于直線BC下方的一點(diǎn)，過點(diǎn)P作PQ∥BC交x軸于點(diǎn)Q，若直線PQ與直線BC之間的距離為d（d≠0），求d與t之間的函數(shù)關(guān)系式（直接寫出自變量的取值范圍）；
（3）在（2）的條件下，連接PA交BC于點(diǎn)E，當(dāng)t為何值時(shí)，使AE=2PE？請(qǐng)說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）將拋物線y=a（x-2）²+k化為一般式為y=ax²-4ax+4a+k，令ax²-4ax+4a+k=0，由韋達(dá)定理得，AB²的關(guān)系式，得出k=-9a，再由點(diǎn)C（0，-5）代入y=ax²-4ax+4a+k，得-5=4a+k，聯(lián)立得出a，k的值，從而得到拋物線一般式，
（2）作PN⊥y軸，延長(zhǎng)BC交PN于點(diǎn)M，作BR⊥PQ，利用拋物線y=x²-4x-5，得出點(diǎn)B，C的坐標(biāo)，求出MP的長(zhǎng)，在RT△BRQ中∠RBQ=45°，即可得出d與t之間的函數(shù)關(guān)系式．
（3）由BQ=-t²+5t，AB=6，結(jié)合平行線分線段成比例列出式子求解即可得出t的值．

解答：解：（1）拋物線y=a（x-2）²+k化為一般式為y=ax²-4ax+4a+k，
∵令ax²-4ax+4a+k=0，由韋達(dá)定理得，x₁+x₂=4，x₁•x₂=

4a+k

a

，AB=6，
∴4²-4×

4a+k

a

=36，化簡(jiǎn)得k=-9a，
∵點(diǎn)C在y軸負(fù)半軸上，且OC=5，
∴點(diǎn)C（0，-5）代入y=ax²-4ax+4a+k，得-5=4a+k，
聯(lián)立

k=-9a -5=4a+k

，解得

a=1 k=-9

，
∴拋物線一般式為y=x²-4x-5，
（2）如圖1，作PN⊥y軸，延長(zhǎng)BC交PN于點(diǎn)M，作BR⊥PQ，

∵拋物線y=x²-4x-5，
∴B（5，0），
∴OC=OB=5，
∴∠OCB=45°，
∴∠MCN=45°，
∴CN=MN，
∵P（t，t²-4t-5），
∴MN=CN=-（t²-4t-5）-5=-t²+4t，
∴MP=MN+NP=-t²+4t+t=-t²+5t
∵四邊形MPQB是平行四邊形，
∴BQ=-t²+5t，
∵在RT△BRQ中∠RBQ=45°，
∴d=

-t2+4t

2

=-

2

2

t²+2

2

t．（0＜t＜5）
（3）如圖2，

由（2）可知BQ=-t²+5t，
∵AB=6，
∴

AE

PE

=

AB

BQ

，
∵AE=2PE，
∴2=

6

-t2+5t

，解得t=

5- 13

2

或t=

5+ 13

2

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了二次函數(shù)與方程、幾何知識(shí)的綜合應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是善于將函數(shù)問題轉(zhuǎn)化為方程問題，善于利用幾何圖形的有關(guān)性質(zhì)、定理和二次函數(shù)的知識(shí)求解．