Question

如圖，△ABC是等邊三角形，BD是中線，延長(zhǎng)BC至E，使CE=AD．
（1）求證：BD=DE；
（2）若點(diǎn)D是AC邊上任意一點(diǎn)，且CE=AD，（1）中的結(jié)論還成立嗎？若成立請(qǐng)證明，若不成立請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

（1）證明：∵△ABC是等邊三角形，BD是中線，
∴∠ABC=∠ACB=60°．
∠DBC=30°（等腰三角形三線合一）．
又∵CE=CD，
∴∠CDE=∠CED．
又∵∠BCD=∠CDE+∠CED，
∴∠CDE=∠CED=∠BCD=30°．
∴∠DBC=∠DEC．
∴DB=DE（等角對(duì)等邊）；

（2）解：BD=DE仍然成立．
證明：作DF∥AB交BC于點(diǎn)F，
∴∠DFC=∠DCF=∠ABC=60°，
∴△DFC是等邊三角形，
∴DF=DC，
∵AD=CE，
∴AD+DC=CE+CF=BC，
即：BC=EF，
∴△BDC≌△EDF，
∴BD=ED．
分析：（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到∠ABC=∠ACB=60°，∠DBC=30°，再根據(jù)角之間的關(guān)系求得∠DBC=∠CED，根據(jù)等角對(duì)等邊即可得到DB=DE．
（2）結(jié)論仍然成立，作DF∥AB交BC于點(diǎn)F，證得△BDC≌△EDF后即可證得結(jié)論．
點(diǎn)評(píng)：此題主要考查學(xué)生對(duì)等邊三角形的性質(zhì)及三角形外角的性質(zhì)的理解及運(yùn)用；利用三角形外角的性質(zhì)得到∠CDE=30°是正確解答本題的關(guān)鍵．