Question

7．【問題提出】
對于特殊四邊形，通常從定義、性質、判定、應用四個方面進行研究，我們借助于這種研究的過程與方法來研究一種新的四邊形--箏形．
【定義】
有且只有兩組鄰邊分別相等的四邊形稱為箏形，如圖，箏形ABCD是中，AB=AD，CB=CD且AB≠BC．
【性質】
按下列分類用文字語言填寫相應的性質：
從對稱性看：箏形是軸對稱圖形，它的對稱軸是其中一條對角線所在直線．
從邊看：有且只有兩組鄰邊分別相等．
從對角線看：有且只有一條對角線被另一條對角線垂直平分．
【判定】
按要求用文字語言填寫相應的判斷方法，補全圖形；
方法1：從邊看，有且只有兩組鄰邊分別相等的四邊形．
方法2？從對角線看：有且只有一條對角線被另一條對角線垂直平分．
已知，如圖，四邊形ABCD中，AC垂直平分BD于O點，且AO≠CO．
求證：四邊形ABCD是箏形．
證明：
【應用】
請利用箏形的定義、性質和判定解決以下問題．
（1）探索箏形ABCD的面積公式；
（2）箏形ABCD有外接圓嗎？如果有，請作出他的對稱軸；如果沒有，請你在箏形ABCD中添加一個條件，使它有外接圓；
（3）箏形ABCD有內切圓嗎？如果有，請作出它的內切圓，如果沒有，請說明理由．

Answer 1

分析 【性質】根據(jù)圖形及定義可以得出結論；【判定】結合圖形與箏形的性質，可得出判定定理；【應用】（1）拆分箏形成兩個三角形即可得出結論；（2）由直徑所對的圓周角為90°能夠找到缺失的條件--兩個直角；（3）模擬三角形內切圓的畫法的步驟即可得出結論．

解答 解：【性質】
結合判定的方法一和圖形，即可得出結論：
從邊看：有且只有兩組鄰邊分別相等；從對角線看：有且只有一條對角線被另一條對角線垂直平分．
故答案為：兩組對邊都不平行；有且只有一條對角線被另一條對角線垂直平分．
【判定】
結合性質定理，可得出：方法二：從對角線看：有且只有一條對角線被另一條對角線垂直平分．
結合方法二可知缺少的條件為：AC垂直平分BD于O點，且AO≠CO．
故答案為：有且只有一條對角線被另一條對角線垂直平分；AC垂直平分BD于O點，且AO≠CO．
證明：按照題意，畫出圖形1．

∵AC垂直平分BD，
∴AB=AD，CB=CD．
又∵AB=$\sqrt{A{O}^{2}+B{O}^{2}}$，BC=$\sqrt{B{O}^{2}+C{O}^{2}}$，AO≠CO，
∴AB≠BC，
∴由箏形定義得，四邊形ABCD是箏形．
【應用】
（1）箏形面積為對角線乘積的一半；
∵S_ABCD=S_△ABD+S_△CBD=$\frac{1}{2}$BD•AO+$\frac{1}{2}$BD•CO=$\frac{1}{2}$BD（AO+CO）=$\frac{1}{2}$BD•AC，
∴箏形面積為對角線乘積的一半．
（2）不一定有，如果∠ABC=∠ADC=90°時，則有外接圓；
∵箏形只有一組對角相等，
∴∠ABC=∠ADC．
又∵AC＞BD，
∴若箏形存在外接圓，其圓心為線段AC的中點，
∵B、D點在圓上，
∴∠ABC=∠ADC=90°．
故：不一定有，如果∠ABC=∠ADC=90°時，則有外接圓．
（3）有，作∠A和∠B的角平分線交于一點，過交點作AD的垂線，然后以交點為圓心，以垂線段為半徑作圓，即為所求內切圓．
由箏形的性質可得出：$\left\{\begin{array}{l}{AB=AD}\\{BC=DC}\\{AC=AC}\end{array}\right.$，
∴△ABC≌△ADC，
∴∠BAC=∠DAC，∠BCA=∠DCA，
∴CA是∠BAD的角平分線．

由AC為箏形對稱軸可以得知存在內接圓．

點評 本題考查了新概念中的箏形的性質及判定，解題的關鍵是：讀懂題意理清關系，用數(shù)學的語言合理的敘述．本題屬于中檔題型，難度不大，對應以前接觸過箏形的同學來說本題不難，對于沒接觸過的同學來說有點難度，失分點是性質和判定定理的敘述，結合我們學過的知識，平行四邊形、長方形和正方形的性質和判定定理，選用合適的數(shù)學語言來敘述是得分的關鍵，此處體現(xiàn)出了數(shù)學的嚴謹性．